Resolva o problema de valor inicial,
, para EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que a gente tem aqui. A equação diferencial que precisamos resolver é:
E a condição inicial é
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares para achar a solução dessa equação. Vamos por partes, passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação diferencial para ficar no formato padrão das equações lineares. A equação dada é:
Vamos reescrever isso para destacar os termos de
e os de
:
Aqui, identificamos que o coeficiente de
é
e o termo independente é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver essa equação. O fator integrante,
, é dado por:
Onde
é o coeficiente de
, que no nosso caso é
. Então:
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação diferencial por ele:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora representa a derivada do produto do fator integrante com
. Isso significa que podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
Substituindo
na expressão de
, temos: