Resolva o problema de valor inicial, y(1)=0, para EDO
d yd t=yt+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que a gente tem aqui. A equação diferencial que precisamos resolver é:
dydt = yt + t^2
E a condição inicial é y(1) = 0. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares para achar a solução dessa equação. Vamos por partes, passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação diferencial para ficar no formato padrão das equações lineares. A equação dada é:
dydt = yt + t^2
Vamos reescrever isso para destacar os termos de y e os de t:
dydt - yt = t^2
Aqui, identificamos que o coeficiente de y é -1t e o termo independente é t^2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver essa equação. O fator integrante, mu(t), é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Onde P(t) é o coeficiente de y, que no nosso caso é -1t. Então:
mu(t) = e^integral -1t , dt = e^-ln t = t^-1

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação diferencial por ele:
t^-1 dydt - t^-2 y = t^-1 cdot t^2
Simplificando:
t^-1 dydt - t^-2 y = t

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora representa a derivada do produto do fator integrante com y. Isso significa que podemos reescrever a equação como:
ddt ( t^-1 y ) = t

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar y(t):
integral ddt ( t^-1 y ) , dt = integral t , dt
Integrando:
t^-1 y = 12 t^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para y(t) multiplicando ambos os lados por t:
y = t ( 12 t^2 + C ) = 12 t^3 + C t

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial y(1) = 0 para encontrar o valor de C:
0 = 12 (1)^3 + C (1) 0 = 12 + C C = -12

Resposta

Substituindo C na expressão de y(t), temos:
y(t) = 12 t^3 - 12 t = t^3 - t2

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