Suponha que umá certa população
tem uma taxa de aumento que satisfaz a equação
Se
, determine o prazo
, após o qual a população duplicará,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve como a população
cresce ao longo do tempo. A equação é
. Também sabemos que no tempo
, a população é
. Nosso objetivo é encontrar o tempo
em que a população dobra, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todas as expressões envolvendo
de um lado e as que envolvem
do outro. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A parte da esquerda envolve
e a da direita envolve
. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre
e
. A integral fica:
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos usar frações parciais. Vamos decompô-la:
Resolvendo para
e
, encontramos que
e
. Então, a integral fica:
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar os denominadores:
Usando propriedades dos logaritmos, podemos combinar os logaritmos:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
Onde
é uma constante.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Rearranjando os termos com
:
Fatorando
:
Então:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Substituindo
na solução geral:
Passo 8
Agora, queremos encontrar o tempo
tal que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 9
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Então:
Resposta
O prazo
após o qual a população duplicará é: