Suponha que umá certa população y(t) tem uma taxa de aumento que satisfaz a equação
d yd t=(3-y) y
Se y(0)=1, determine o prazo T, após o qual a população duplicará, y(T)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve como a população y(t) cresce ao longo do tempo. A equação é dydt = (3 - y)y. Também sabemos que no tempo t = 0, a população é y(0) = 1. Nosso objetivo é encontrar o tempo T em que a população dobra, ou seja, y(T) = 2. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para separar as variáveis y e t. Isso significa colocar todas as expressões envolvendo y de um lado e as que envolvem t do outro. A equação original é:
dydt = (3 - y)y
Podemos reescrever isso como:
dy(3 - y)y = dt

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A parte da esquerda envolve y e a da direita envolve t. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre y e t. A integral fica:
integral 1(3 - y)y , dy = integral 1 , dt
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos usar frações parciais. Vamos decompô-la:
1(3 - y)y = Ay + B3 - y
Resolvendo para A e B, encontramos que A = 13 e B = 13. Então, a integral fica:
integral ( 13y + 13(3 - y) ) dy = integral 1 , dt
Integrando ambos os lados:
13 ln|y| - 13 ln|3 - y| = t + C

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar os denominadores:
ln|y| - ln|3 - y| = 3t + C'
Usando propriedades dos logaritmos, podemos combinar os logaritmos:
ln( y3 - y ) = 3t + C'
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
y3 - y = e^3t + C' = Ce^3t
Onde C = e^C' é uma constante.

Passo 5

Agora, vamos resolver para y. Multiplicando ambos os lados por (3 - y):
y = Ce^3t(3 - y)
Distribuindo o Ce^3t:
y = 3Ce^3t - Ce^3ty
Rearranjando os termos com y:
y + Ce^3ty = 3Ce^3t
Fatorando y:
y(1 + Ce^3t) = 3Ce^3t
Então:
y = 3Ce^3t1 + Ce^3t

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar C. Sabemos que quando t = 0, y = 1:
1 = 3C1 + C
Multiplicando ambos os lados por (1 + C):
1 + C = 3C
Subtraindo C de ambos os lados:
1 = 2C Rightarrow C = 12

Passo 7

Substituindo C = 12 na solução geral:
y = 3 cdot 12 e^3t1 + 12 e^3t = 32 e^3t1 + 12 e^3t = 3 e^3t2 + e^3t

Passo 8

Agora, queremos encontrar o tempo T tal que y(T) = 2:
2 = 3 e^3T2 + e^3T
Multiplicando ambos os lados por (2 + e^3T):
2(2 + e^3T) = 3 e^3T
Expandindo:
4 + 2e^3T = 3e^3T
Subtraindo 2e^3T de ambos os lados:
4 = e^3T

Passo 9

Para resolver para T, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
ln(4) = 3T
Então:
T = ln(4)3

Resposta

O prazo T após o qual a população duplicará é:
T = ln(4)3 approx 0,462 unidades de tempo

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