Calcule o trabalho realizado por uma partícula andando sobre uma espiral dada por x=t cos t, y=t sen t para 0 <= t <= 2 pi sob a açäo do campo F(x, y)=(x, y).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma partícula que se move ao longo da espiral parametrizada por x=tcos t, y=tsin t para 0<= t<=2pi, sob a ação do campo F(x,y)=(x,y). O objetivo é calcular o trabalho, que é a integral de linha do campo ao longo da curva.

Passo 2

Expressamos a curva em forma vetorial e o trabalho como integral de linha: definimos vec r(t)=(tcos t,,tsin t) e dvec r=vec r,'(t),dt. Logo, o trabalho é
W=integralC Fcdot dvec r=integral0^2pi F(vec r(t))cdot vec r,'(t),dt

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização:
vec r,'(t)=l(cos t - tsin t,;sin t + tcos tr)

Passo 4

Substituímos na integral. Como
F(vec r(t))=(tcos t,;tsin t),
o produto escalar fica
F(vec r(t))cdot vec r,'(t)=tcos^2t - t^2cos tsin t + tsin^2t + t^2sin tcos t = t

Passo 5

Integramos de 0 a 2\pi:
W=integral0^2pit,dt=[t^22]0^2pi=2pi^2

Passo 6

Observação pela teoria de campos conservativos: como F=nablaphi com phi(x,y)=tfrac12(x^2+y^2), temos também
W=phi(vec r(2pi))-phi(vec r(0))=tfrac12l((2pi)^2-0r)=2pi^2,
confirmando o mesmo resultado.

Resposta

2pi^2

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