Resolva o problema de valor inicial
e determine onde a solução atinge seu valor máximo.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial separável. Para resolver, vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
Agora integramos cada lado:
No lado esquerdo
e no direito
Logo
onde
.
Passo 3
Usamos a condição inicial
. Substituindo em
com
e
dá
Portanto a relação implícita é
Passo 4
Para obter
explicitamente, consideramos a equação quadrática em
:
Pela fórmula de Bhaskara,
Passo 5
Devemos escolher o sinal que em
dá
. Em
,
,
então as raízes são e
.
Para corresponder a , escolhemos
então as raízes são
Para corresponder a
Passo 6
Para achar onde
atinge o máximo, note que
é máximo quando
. Logo
Nesses pontos
assume o valor máximo
Passo 7
Como a solução só existe enquanto o radicando
(para não ficar complexo) e nosso intervalo contendo
vai até o primeiro ponto em que
, o máximo em torno de
ocorre em
Resposta
A solução é
e ela atinge seu valor máximo
pela primeira vez em