Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime}=2 \cos (2 x) /(3+2 y), \quad y(0)=-1
e determine onde a solução atinge seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = \frac{2\cos(2x)}{3+2y},\quad y(0)=-1,
que é uma equação diferencial separável. Para resolver, vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
(3+2y)\,dy = 2\cos(2x)\,dx.
Agora integramos cada lado:
\int (3+2y)\,dy = \int 2\cos(2x)\,dx.
No lado esquerdo
\int(3+2y)\,dy = 3y + y^2 + C_1,
e no direito
\int2\cos(2x)\,dx = \sin(2x) + C_2.
Logo
y^2 + 3y = \sin(2x) + C,
onde C = C_2 - C_1.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=-1. Substituindo em
y^2 + 3y = \sin(2x) + C
com x=0 e y=-1
(-1)^2 + 3(-1) = 0 + C \;\Longrightarrow\;1 - 3 = C \;\Longrightarrow\;C = -2.
Portanto a relação implícita é
y^2 + 3y = \sin(2x) - 2.

Passo 4

Para obter y explicitamente, consideramos a equação quadrática em y:
y^2 + 3y - (\sin(2x)-2) = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4(\sin(2x)-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1 + 4\sin(2x)}}{2}.

Passo 5

Devemos escolher o sinal que em x=0 y(0)=-1. Em x=0, \sqrt{1+4\sin(0)}=\sqrt1=1,
então as raízes são \frac{-3+1}2=-1 e \frac{-3-1}2=-2.
Para corresponder a y(0)=-1, escolhemos
y(x) = \frac{-3 + \sqrt{1 + 4\sin(2x)}}{2}.

Passo 6

Para achar onde y atinge o máximo, note que \sqrt{1+4\sin(2x)} é máximo quando \sin(2x)=1. Logo
\sin(2x)=1 \;\Longrightarrow\; 2x = \frac\pi2 + 2k\pi \;\Longrightarrow\; x = \frac\pi4 + k\pi,\quad k\in\mathbb Z.
Nesses pontos y assume o valor máximo
y_{\max} = \frac{-3 + \sqrt{1 + 4\cdot1}}{2} = \frac{-3 + \sqrt5}{2}.

Passo 7

Como a solução só existe enquanto o radicando 1+4\sin(2x)\ge -\!\tfrac14 (para não ficar complexo) e nosso intervalo contendo x=0 vai até o primeiro ponto em que 1+4\sin(2x)=0, o máximo em torno de x=0 ocorre em
x = \frac\pi4.

Resposta

A solução é
y(x) = \frac{-3 + \sqrt{1 + 4\sin(2x)}}{2},
e ela atinge seu valor máximo
y_{\max} = \frac{-3+\sqrt5}{2}
pela primeira vez em
x = \frac\pi4.

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