Resolva o problema de valor inicial
e determine onde a solução atinge seu valor máximo.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
com condição inicial
.
O método aqui é reconhecer que a equação é separável e integrar ambos os lados.
O método aqui é reconhecer que a equação é separável e integrar ambos os lados.
Passo 2
Separe as variáveis, escrevendo todos os termos em
de um lado e em
do outro:
Passo 3
Integre cada lado:
No lado esquerdo
logo dá
.
No lado direito
No lado direito
ficando
Passo 4
Use a condição inicial
para achar
:
substituindo ,
em
dá
substituindo
Assim a solução implícita é
Passo 5
Resolva explicitamente para
usando a fórmula de Bhaskara em
Temos
Para satisfazer
, escolhemos o sinal “
”, pois em
isso dá
.
Portanto
Portanto
Passo 6
O valor máximo ocorre quando
.
Como
Como
anulamos o numerador:
Verificando o sinal de
: para
tem
(cresce) e para
tem
(decresce). Logo é um máximo.
Resposta
A solução atinge seu valor máximo em
.