Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime}=2 y^{2}+x y^{2}, \quad y(0)=1
e determine onde a solução atinge seu valor mínimo.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = 2\,y^2 + x\,y^2
com condição inicial y(0)=1. Trata-se de um problema de equação diferencial separável e, depois de obtermos a solução, faremos análise de extremos pelo sinal de y'.

Passo 2

Separemos variáveis escrevendo
\frac{dy}{dx} = (2 + x)\,y^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^2} = (2 + x)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. À esquerda,
\int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y},
e à direita,
\int (2 + x)\,dx = 2x + \frac{x^2}{2} + C.
Logo
-\,\frac{1}{y} = 2x + \frac{x^2}{2} + C.

Passo 4

Usamos y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 na equação acima, obtemos
-1 = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Assim
-\,\frac{1}{y} = 2x + \frac{x^2}{2} - 1.

Passo 5

Isolando y,
\frac{1}{y} = 1 - 2x - \frac{x^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{1}{1 - 2x - \frac{x^2}{2}}.

Passo 6

Para achar extremos, note que a própria equação dá
y' = (2 + x)\,y^2.
Como y^2>0, o sinal de y' é o mesmo de 2 + x. Portanto
  • em x = -2, y'=0;
  • para x < -2, y'<0 (função decrescente);
  • para x > -2, y'>0 (função crescente).
    Logo x = -2 é ponto de mínimo.

Resposta

A solução do IVP é
y(x) = \frac{1}{1 - 2x - \tfrac{x^2}{2}},
e ela atinge seu valor mínimo em x = -2, onde
y(-2) = \frac{1}{1 + 4 - 2} = \frac{1}{3}.

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