Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime}=\left(2-e^{x}\right) /(3+2 y), \quad y(0)=0
e determine onde a solução atinge seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y'=\frac{2-e^{x}}{3+2y},
com condição inicial y(0)=0.
O método aqui é reconhecer que a equação é separável e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis, escrevendo todos os termos em y de um lado e em x do outro:
(3+2y)\,dy=(2-e^{x})\,dx.

Passo 3

Integre cada lado:
\int(3+2y)\,dy=\int(2-e^{x})\,dx.
No lado esquerdo
\int3\,dy=3y,\quad \int2y\,dy=y^2,
logo dá 3y+y^2.
No lado direito
\int2\,dx=2x,\quad \int(-e^{x})\,dx=-e^{x},
ficando
3y+y^2=2x-e^{x}+C.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=0 para achar C:
substituindo x=0, y=0 em 3y+y^2=2x-e^x+C
0=0-1+C\quad\Longrightarrow\quad C=1.
Assim a solução implícita é
y^2+3y=2x-e^{x}+1.

Passo 5

Resolva explicitamente para y usando a fórmula de Bhaskara em
y^2+3y-\bigl(2x-e^x+1\bigr)=0.
Temos
y=\frac{-3\pm\sqrt{9+4(2x-e^x+1)}}{2} =\frac{-3\pm\sqrt{13+8x-4e^x}}{2}.
Para satisfazer y(0)=0, escolhemos o sinal “ +”, pois em x=0 isso dá ( -3+3)/2=0.
Portanto
y(x)=\frac{-3+\sqrt{13+8x-4e^x}}{2}.

Passo 6

O valor máximo ocorre quando y'=0.
Como
y'=\frac{2-e^x}{3+2y},
anulamos o numerador:
2-e^x=0\quad\Longrightarrow\quad e^x=2\quad\Longrightarrow\quad x=\ln2.
Verificando o sinal de y': para x<\ln2 tem e^x<2\implies y'>0 (cresce) e para x>\ln2 tem y'<0 (decresce). Logo é um máximo.

Resposta

A solução atinge seu valor máximo em x=\ln2.

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