Resolva o problema de valor inicial
e determine onde a solução atinge seu valor mínimo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
. Trata-se de um problema de equação diferencial separável e, depois de obtermos a solução, faremos análise de extremos pelo sinal de
.
Passo 2
Separemos variáveis escrevendo
Passo 3
Integramos ambos os lados. À esquerda,
e à direita,
Logo
Passo 4
Usamos
. Substituindo
e
na equação acima, obtemos
Assim
Passo 5
Isolando
,
Passo 6
Para achar extremos, note que a própria equação dá
Como
, o sinal de
é o mesmo de
. Portanto
- em
, ; - para
, (função decrescente); - para
, (função crescente).
Logoé ponto de mínimo.
Resposta
A solução do IVP é
e ela atinge seu valor mínimo em
, onde