Resolva o problema de valor inicial 4 y^prime prime-y=0, y(0)=2, y^prime(0)=beta. Depois encontre a solução tenda a zero quando t infty.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Conteúdo: EDO linear homogênea de 2ª ordem. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Para resolver 4y’’–y=0, montamos o polinômio característico associado substituindo y
t por e^{rt}:
4r^2 - 1 = 0
Resolvendo, temos r^2 = 1/4, logo r = \pm\tfrac12.

Passo 3

A solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais:
y(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t/2
A derivada é
y'(t) = C12 e^t/2 - C22 e^-t/2

Passo 4

Aplicando as condições iniciais y(0)=2 e y’(0)=β, obtemos o sistema:
C1 + C2 = 2, C1 - C22 = β
Resolvendo, fica
C1 = 1 + β,
C2 = 1 - β
Assim
y(t) = (1+β)e^t/2 + (1-β)e^-t/2

Passo 5

Para que y(t) → 0 quando t → ∞, o termo crescente e^{t/2} deve desaparecer, ou seja, C_1 = 0. Daí 1+β = 0, logo β = -1. Substituindo, C_2 = 2 e então
y(t) = 2 e^-t/2,
que de fato decai a zero para t → ∞.

Resposta

Para que y(t) tenda a zero, β = -1 e
y(t) = 2 e^-t/2

Exercícios relacionados