Resolva o problema de valor inicial
. Depois encontre a solução tenda a zero quando
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Conteúdo: EDO linear homogênea de 2ª ordem. Vamos usar o método do polinômio característico.
Conteúdo: EDO linear homogênea de 2ª ordem. Vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Para resolver 4y’’–y=0, montamos o polinômio característico associado substituindo y
t por e^{rt}:
t por e^{rt}:
Resolvendo, temos r^2 = 1/4, logo r = \pm\tfrac12.
Passo 3
A solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais:
A derivada é
Passo 4
Aplicando as condições iniciais y(0)=2 e y’(0)=β, obtemos o sistema:
Resolvendo, fica
Assim
Passo 5
Para que y(t) → 0 quando t → ∞, o termo crescente e^{t/2} deve desaparecer, ou seja, C_1 = 0. Daí 1+β = 0, logo β = -1. Substituindo, C_2 = 2 e então
que de fato decai a zero para t → ∞.
Resposta
Para que y(t) tenda a zero, β = -1 e