Resolver o problema de Cauchy para a equação de calor:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de Cauchy para a equação de calor. A equação de calor que estamos lidando é:
Aqui,
representa a temperatura em um ponto
no espaço e no tempo
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação, dadas as condições iniciais:
Vamos usar métodos da equação de calor e propriedades das transformadas integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial parcial do tipo parabolic, especificamente a equação de calor. A solução geral para a equação de calor na linha real é dada pela convolução da condição inicial com o núcleo de calor.
O núcleo de calor para a equação
é:
No nosso caso,
, então
. Portanto, o núcleo de calor fica:
Passo 3
A solução
pode ser escrita como a integral da condição inicial multiplicada pelo núcleo de calor. Ou seja:
Substituindo o núcleo de calor:
Passo 4
Sabemos que a condição inicial
é 1 quando
e 0 caso contrário. Então, a integral simplifica para:
Passo 5
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja
. Então,
e
.
Os limites de integração transformam-se da seguinte forma:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
O termo
cancela, e o sinal negativo inverte os limites de integração:
Passo 6
Reconhecemos que a integral de
é a função erro (
). Portanto:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de Cauchy para a equação de calor dada é: