Resolver o problema de Cauchy para a equação de calor:
& ut-4 ux x=0, (x, t) in R+^2, & u(x, 0)= 1, & se x in[1,2] 0, & se x notin[1,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de Cauchy para a equação de calor. A equação de calor que estamos lidando é:
ut - 4 ux x = 0
Aqui, u(x, 0) = 1, & se x in [1,2] 0, & se x notin [1,2] representa a temperatura em um ponto no espaço e no tempo . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação, dadas as condições iniciais:
Vamos usar métodos da equação de calor e propriedades das transformadas integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial parcial do tipo parabolic, especificamente a equação de calor. A solução geral para a equação de calor na linha real é dada pela convolução da condição inicial com o núcleo de calor.
O núcleo de calor para a equação K(x, t) = 1raiz4 pi a^2 t e^-x^24 a^2 t é:
K(x, t) = 1raiz16 pi t e^-x^216 t = 14 raizpi t e^-x^216 t
No nosso caso, , então . Portanto, o núcleo de calor fica:

Passo 3

A solução u(x, t) = integral-infty^infty K(x - xi, t) cdot u(xi, 0) , dxi pode ser escrita como a integral da condição inicial multiplicada pelo núcleo de calor. Ou seja:
u(x, t) = integral-infty^infty 14 raizpi t e^-(x - xi)^216 t cdot u(xi, 0) , dxi
Substituindo o núcleo de calor:

Passo 4

Sabemos que a condição inicial u(x, t) = integral1^2 14 raizpi t e^-(x - xi)^216 t , dxi é 1 quando e 0 caso contrário. Então, a integral simplifica para:

Passo 5

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja u(x, t) = integralx - 24 raizt^x - 14 raizt 14 raizpi t e^-y^2 cdot (-4 raizt) dy . Então, u(x, t) = 1raizpi integralx - 24 raizt^x - 14 raizt e^-y^2 dy e .
Os limites de integração transformam-se da seguinte forma:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
O termo cancela, e o sinal negativo inverte os limites de integração:

Passo 6

Reconhecemos que a integral de u(x, t) = 1raizpi [ raizpi2 ( erf(x - 14 raizt) - erf(x - 24 raizt) ) ] é a função erro ( u(x, t) = 12 ( erf(x - 14 raizt) - erf(x - 24 raizt) ) ). Portanto:
Simplificando:

Resposta

A solução do problema de Cauchy para a equação de calor dada é:
u(x, t) = 12 ( erf(x - 14 raizt) - erf(x - 24 raizt) )

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