Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime}=y^{2}, \quad y(0)=1
e determine o intervalo máximo da solução.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação diferencial de primeira ordem
y' = y^2,\quad y(0)=1.
O conteúdo é equações separáveis e vamos precisar separar variáveis, integrar e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separe as variáveis movendo y^2 para a esquerda e dx para a direita:
\frac{dy}{y^2} = dx.
Agora integre ambos os lados.

Passo 3

A integral de \tfrac{1}{y^2} em relação a y é -1/y, e a de 1 em relação a x é x, mais constante C:
\int \frac{dy}{y^2} = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y} = x + C.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1 para achar C:
-\frac{1}{1} = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Logo
-\frac{1}{y} = x - 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y} = 1 - x \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{1}{1 - x}.
Para que a solução seja válida, o denominador não pode ser zero, ou seja, 1 - x \neq 0.

Passo 5

Como y(0)=1 e a solução explode (vai a +\infty) quando x\to1^-, não podemos ultrapassar x=1. Para x<1 não há singularidades e podemos estender até x\to -\infty. Portanto, o intervalo máximo de existência que contém 0 é
(-\infty,\,1).

Resposta

y(x) = \frac{1}{1 - x}, \quad \text{intervalo máximo de existência: }(-\infty,\,1).áê

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