Considere o problema de valor inicial
t y^{\prime}+2 y=\frac{\cos t}{t} \quad y(\pi)=0 \quad t>0
(a) Classique a equação diferencial de primeira ordem.
(b) Encontre o fator integrante \mu(t).
(c) Resolva o PVI.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
t\,y'+2y=\frac{\cos t}{t},\quad y(\pi)=0,\quad t>0
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação no formato padrão
y'+\frac{2}{t}\,y=\frac{\cos t}{t^2}.
Nesse formato, vemos que é uma equação linear de primeira ordem com coeficiente de y igual a P(t)=2/t.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) =\exp\bigl(2\ln t\bigr) =t^2.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=t^2:
t^2y'+2t\,y=\frac{t^2\cos t}{t^2} \;\Longrightarrow\; (t^2y)'=\cos t.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
t^2y=\int\cos t\,dt=\sin t + C.

Passo 5

Isolando y e usando a condição inicial y(\pi)=0, obtemos
y(t)=\frac{\sin t+C}{t^2}, \quad 0=y(\pi)=\frac{\sin\pi+C}{\pi^2} \;\Longrightarrow\; C=0.
Logo a solução do PVI é
y(t)=\frac{\sin t}{t^2}.

Resposta

y(t)=\frac{\sin t}{t^2}.

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