Resolva os problemas abaixo:
(c) y^{2}+\cos x+\left(2 x y+e^{y}\right) y^{\prime}=0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y^{2}+\cos x+\left(2 x y+e^{y}\right) y^{\prime}=0.
Informações relevantes que já temos:
  • A equação envolve as variáveis x e y(x).
  • Podemos escrever a equação na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0; os coeficientes são
M(x,y)=y^{2}+\cos x,\qquad N(x,y)=2xy+e^{y}.
  • A solução geral deve aparecer como uma família de curvas implícitas com constante de integração.

Passo 2

Vou testar se a equação é exata. Primeiro explico o que isso significa de forma simples: uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é dita exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}=M e \dfrac{\partial\Phi}{\partial y}=N. Uma maneira prática de verificar isso é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}\stackrel{?}{=}\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais (passo a passo):
  • Diferenciando M(x,y)=y^{2}+\cos x em relação a y, mantendo x fixo:
\frac{\partial M}{\partial y}=2y.
  • Diferenciando N(x,y)=2xy+e^{y} em relação a x, mantendo y fixo:
\frac{\partial N}{\partial x}=2y.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2y, a equação é exata. Isso nos garante que existe \Phi(x,y) com d\Phi=0 ao longo das soluções; logo as soluções são dadas implicitamente por \Phi(x,y)=C.

Passo 3

Agora vamos construir a função potencial \Phi(x,y). Pelo que dissemos, \Phi deve satisfazer
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=y^{2}+\cos x.
Para obter \Phi integramos M em relação a x, tratando y como constante durante a integração. Isto é um ponto importante: ao integrar em x uma expressão que contém y, y é como uma “constante simbólica”.
Faço a integral:
\Phi(x,y)=\int (y^{2}+\cos x)\,dx = x y^{2}+\sin x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque ao integrar em x a constante de integração pode depender de y).

Passo 4

Agora usamos a outra condição \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y) para determinar h(y). Calculo a derivada de \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}+\sin x + h(y)\big)=2xy + h'(y).
Igualo isso a N(x,y)=2xy+e^{y}:
2xy + h'(y)=2xy + e^{y}.
Cancelando 2xy de ambos os lados obtemos
h'(y)=e^{y}.
Integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int e^{y}\,dy = e^{y} + C_0,
onde C_0 é uma constante. Podemos absorver essa constante posteriormente na constante geral da solução.

Passo 5

Substituo h(y)=e^{y} (vou omitir C_0 por enquanto) na expressão de \Phi. Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y)=x y^{2}+\sin x + e^{y}.
A condição d\Phi=0 ao longo das soluções implica que \Phi(x,y) é constante em cada solução. Portanto a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
x y^{2}+\sin x + e^{y}=C,
onde C é constante arbitrária real. Essa é a forma final; isolar y explicitamente em termos de x normalmente não é possível em termos elementares por causa do e^{y} e do y^{2}.

Resposta

x y^{2}+\sin x + e^{y}=C

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