Resolva os problemas abaixo:
(c)
,
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Informações relevantes que já temos:
- A equação envolve as variáveis
e . - Podemos escrever a equação na forma diferencial
; os coeficientes são
- A solução geral deve aparecer como uma família de curvas implícitas com constante de integração.
Passo 2
Vou testar se a equação é exata. Primeiro explico o que isso significa de forma simples: uma equação diferencial na forma
é dita exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Uma maneira prática de verificar isso é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Calculo as derivadas parciais (passo a passo):
- Diferenciando
em relação a , mantendo fixo:
- Diferenciando
em relação a , mantendo fixo:
Como
, a equação é exata. Isso nos garante que existe
com
ao longo das soluções; logo as soluções são dadas implicitamente por
.
Passo 3
Agora vamos construir a função potencial
. Pelo que dissemos,
deve satisfazer
Para obter
integramos
em relação a
, tratando
como constante durante a integração. Isto é um ponto importante: ao integrar em
uma expressão que contém
,
é como uma “constante simbólica”.
Faço a integral:
Faço a integral:
onde
é uma função arbitrária de
(apareceu porque ao integrar em
a constante de integração pode depender de
).
Passo 4
Agora usamos a outra condição
para determinar
. Calculo a derivada de
em relação a
:
Igualo isso a
:
Cancelando
de ambos os lados obtemos
Integro
em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos absorver essa constante posteriormente na constante geral da solução.
Passo 5
Substituo
(vou omitir
por enquanto) na expressão de
. Assim a função potencial completa é
A condição
ao longo das soluções implica que
é constante em cada solução. Portanto a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária real. Essa é a forma final; isolar
explicitamente em termos de
normalmente não é possível em termos elementares por causa do
e do
.