Resolva os problemas abaixo:
(a) y^{\prime}+(1-2 t) y=t e^{-t}, y(0)=2,

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
y^{\prime}+(1-2t)\,y = t e^{-t},\qquad y(0)=2.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar o método do fator integrante (integrating factor) para equações lineares de primeira ordem. Motivo: a equação está na forma padrão y'+p(t)y=q(t) com p(t)=1-2t e q(t)=t e^{-t}, e o fator integrante transforma o lado esquerdo numa derivada de produto, o que simplifica a integração. Esse é o método mais direto aqui.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Por definição,
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int (1-2t)\,dt\right).
Calcule a integral:
\int (1-2t)\,dt = t - t^{2}.
Portanto
\mu(t)=e^{\,t-t^{2}}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t). A razão é que
\frac{d}{dt}\big(\mu(t) y(t)\big)=\mu(t)y'(t)+\mu'(t)y(t)
e como \mu'(t)=\mu(t)(1-2t) (porque \mu'(t)/\mu(t)=1-2t), o lado esquerdo original se transforma em \dfrac{d}{dt}(\mu y). Assim,
\frac{d}{dt}\big(\mu y\big)=\mu(t)\,q(t)=e^{\,t-t^{2}}\cdot t e^{-t}.
Simplificando o lado direito:
e^{\,t-t^{2}}\cdot t e^{-t}=t e^{-t^{2}}.
Logo obtemos a equação pronta para integrar:
\frac{d}{dt}\big(e^{\,t-t^{2}}\,y\big)=t e^{-t^{2}}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
e^{\,t-t^{2}}\,y=\int t e^{-t^{2}}\,dt + C.
Para calcular \int t e^{-t^{2}}\,dt, observe que a derivada de e^{-t^{2}} é \dfrac{d}{dt}e^{-t^{2}}=-2t e^{-t^{2}}. Assim,
\int t e^{-t^{2}}\,dt = -\frac{1}{2}e^{-t^{2}} + C_{1}.
Portanto, absorvendo constantes, podemos escrever
e^{\,t-t^{2}}\,y = -\frac{1}{2}e^{-t^{2}} + C.

Passo 6

Isolar y(t): multiplicar pelos inversos
y(t)=e^{-t+t^{2}}\left(-\frac{1}{2}e^{-t^{2}}+C\right).
Simplifique os termos exponenciais: e^{-t+t^{2}}\cdot e^{-t^{2}}=e^{-t}. Assim
y(t) = -\frac{1}{2}e^{-t} + C e^{-t+t^{2}}.

Passo 7

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=2. Substituindo t=0:
y(0) = -\frac{1}{2}e^{0} + C e^{0} = -\frac{1}{2} + C = 2.
Logo
C = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.
Substituindo C na expressão geral obtemos a solução particular:
y(t) = -\frac{1}{2}e^{-t} + \frac{5}{2}e^{-t+t^{2}}.

Resposta

y(t) = -\frac{1}{2}e^{-t} + \frac{5}{2}e^{-t+t^{2}}.

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