Resolva os problemas abaixo:
(a)
,
(a)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Estratégia escolhida: usar o método do fator integrante (integrating factor) para equações lineares de primeira ordem. Motivo: a equação está na forma padrão
com
e
, e o fator integrante transforma o lado esquerdo numa derivada de produto, o que simplifica a integração. Esse é o método mais direto aqui.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Por definição,
Calcule a integral:
Portanto
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. A razão é que
e como
(porque
), o lado esquerdo original se transforma em
. Assim,
Simplificando o lado direito:
Logo obtemos a equação pronta para integrar:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
Para calcular
, observe que a derivada de
é
. Assim,
Portanto, absorvendo constantes, podemos escrever
Passo 6
Isolar
: multiplicar pelos inversos
Simplifique os termos exponenciais:
. Assim
Passo 7
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
:
Logo
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular: