Resolva os problemas abaixo:
Resolva as equações diferenciais dadas:
d) y^{\prime \prime}-y=\left(1-e^{-x}\right)^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y''-y=\frac{1}{1-e^{-x}}.
O conteúdo é solução geral de equações lineares com coeficientes constantes, que combina a solução geral da homogênea com uma solução particular da não-homogênea. Vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar a parte particular.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a solução geral da equação homogênea
y''-y=0.
A equação característica é
r^2-1=0\quad\Longrightarrow\quad r=\pm1.
Logo a solução homogênea é
y_h(x)=C_1e^x + C_2e^{-x}.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, procuramos
y_p(x)=u_1(x)e^x + u_2(x)e^{-x},
onde
\begin{cases} u_1'=-\dfrac{f(x)\,y_2(x)}{W(x)},\\[6pt] u_2'=\dfrac{f(x)\,y_1(x)}{W(x)}, \end{cases}
com y_1=e^x, y_2=e^{-x}, f(x)=\frac1{1-e^{-x}} e o Wronskiano
W=\begin{vmatrix}e^x & e^{-x}\\\ e^x & -e^{-x}\end{vmatrix} =-2.
Logo
u_1'(x) =-\frac{\frac1{1-e^{-x}}\;e^{-x}}{-2} =\frac{e^{-x}}{2\bigl(1-e^{-x}\bigr)}, \quad u_2'(x) =\frac{\frac1{1-e^{-x}}\;e^{x}}{-2} =-\frac{e^{x}}{2\bigl(1-e^{-x}\bigr)}.]

Passo 4

Calculamos
u_1(x) =\int \frac{e^{-x}}{2(1-e^{-x})}\,dx.
Faça t=e^{-x}, dt=-e^{-x}dx. Então
u_1 =-\tfrac12\int\frac{dt}{1-t} =\tfrac12\ln\bigl|1-t\bigr| =\tfrac12\ln\bigl(1-e^{-x}\bigr).

Passo 5

Agora
u_2(x) =-\tfrac12\int \frac{e^{x}}{1-e^{-x}} \,dx.
Usando de novo t=e^{-x}, nota-se que a integral se reduz a
\tfrac12\int\frac{dt}{t^2(1-t)},
cuja decomposição em frações parciais dá
\frac1{t^2(1-t)} =\frac1t+\frac1{t^2}+\frac1{1-t}.
Integrando, obtém-se
u_2(x) =-\tfrac12\Bigl(\ln t -\tfrac1t -\ln|1-t|\Bigr) =-\tfrac12\Bigl(-x -e^{x} -\ln(1-e^{-x})\Bigr),
ou seja
u_2(x) =-\frac{x}{2}-\frac{e^{x}}{2}-\frac12\ln\bigl(1-e^{-x}\bigr).

Passo 6

Montamos
y_p =u_1e^x + u_2e^{-x} =\frac12e^x\ln(1-e^{-x}) -\frac12e^{-x}\ln(1-e^{-x}) -\frac{x}{2}e^{-x} -\frac12.
Agrupando e^x-e^{-x}=2\operatorname{sinh} x, fica
y_p(x) =\operatorname{sinh}(x)\,\ln\bigl(1-e^{-x}\bigr) -\frac{x\,e^{-x}}{2} -\frac12.
Portanto a solução geral é
y(x) =C_1e^x + C_2e^{-x} +\operatorname{sinh}(x)\,\ln\bigl(1-e^{-x}\bigr) -\frac{x\,e^{-x}}{2} -\frac12.

Resposta

\boxed{y(x)=C_1e^x + C_2e^{-x} +\operatorname{sinh}(x)\,\ln\bigl(1-e^{-x}\bigr) -\frac{x\,e^{-x}}{2} -\frac12.}

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