Utilize variação de parâmetro para r esolver a EDO:
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=6 e^{x}\left(1+e^{x}\right)^{-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + y'' - 2y' \;=\; 6\,\frac{e^x}{1+e^x}
e pede uma solução geral por variação de parâmetros.
Conteúdo: equações lineares de ordem superior, solução da homogênea e variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y_h''' + y_h'' - 2y_h' = 0.
A equação característica é
r^3 + r^2 - 2r = r\,(r^2 + r - 2) = r\,(r+2)\,(r-1) = 0,
de modo que as raízes são r=0,\,-2,\,1. Assim
y_h(x) = C_1 \cdot e^{0\cdot x} + C_2\,e^{-2x} + C_3\,e^{x} = C_1 + C_2\,e^{-2x} + C_3\,e^{x}.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, reduzimos a ordem definindo z(x)=y'(x). Então
z'' + z' - 2z = 6\,\frac{e^x}{1+e^x}.
As soluções da homogênea para z são e^{-2x} e e^{x}. Vamos buscar
z_p(x) = u_1(x)\,e^{-2x} + u_2(x)\,e^{x},
onde u_1' e u_2' satisfazem o sistema
\begin{cases} u_1' e^{-2x} + u_2' e^{x} = 0,\\\ u_1'(-2e^{-2x}) + u_2'(e^{x}) = 6\,\dfrac{e^x}{1+e^x}. \end{cases}

Passo 4

Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas de ordem 2:
W = \begin{vmatrix} e^{-2x} & e^{x}\\\\ -2e^{-2x} & e^{x} \end{vmatrix} = e^{-2x}\,e^{x} - (-2e^{-2x})\,e^{x} = 3\,e^{-x}.
Então
u_1' = -\frac{6\,\frac{e^x}{1+e^x}\cdot e^{x}}{3\,e^{-x}} = -2\,\frac{e^{3x}}{1+e^x},\quad u_2' = \frac{6\,\frac{e^x}{1+e^x}\cdot e^{-2x}}{3\,e^{-x}} = 2\,\frac{1}{1+e^x}.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2. Com t=e^x,
u_1(x) = \int -2\,\frac{e^{3x}}{1+e^x}\,dx = \int -2\,\frac{t^3}{1+t}\,\frac{dt}{t} = \int -2\frac{t^2}{1+t}\,dt = -t^2 + 2t - 2\ln(1+t)
\Rightarrow u_1(x) = -e^{2x} + 2e^x - 2\ln\bigl(1+e^x\bigr).
E
u_2(x) = \int 2\,\frac{1}{1+e^x}\,dx = 2x - 2\ln\bigl(1+e^x\bigr).

Passo 6

Logo a particular de z é
z_p(x) = u_1(x)e^{-2x} + u_2(x)e^x = \bigl(-e^{2x}+2e^x-2\ln(1+e^x)\bigr)e^{-2x} + \bigl(2x-2\ln(1+e^x)\bigr)e^x.
Simplificando cada termo, chega-se a uma expressão de z_p. Em seguida,
y_p(x)=\int z_p(x)\,dx
fornece uma primitiva que contém termos lineares e logarítmicos.

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(x) = C_1 + C_2\,e^{-2x} + C_3\,e^{x} \;+\; \int\Bigl[u_1(x)\,e^{-2x}+u_2(x)\,e^{x}\Bigr]\,dx, }
onde
u_1(x)=-e^{2x}+2e^x-2\ln\bigl(1+e^x\bigr), \quad u_2(x)=2x-2\ln\bigl(1+e^x\bigr).
Dessa forma, obtemos por variação de parâmetros a solução geral da EDO.

Exercícios relacionados