Resolva os problemas abaixo:
b) Determine uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes no qual
e
sejam soluções da equação homogênea associada e
seja uma solução particular da equação não homogênea.
b) Determine uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes no qual
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes tal que as soluções da equação homogênea sejam
e
e que tenha uma solução particular
para a parte não homogênea.
e que tenha uma solução particular
para a parte não homogênea.
Passo 2
Como as soluções homogêneas são
e
, as raízes do polinômio característico são
isto é, o polinômio é
. Logo a equação homogênea é
Passo 3
Denotamos o operador linear por
. Para que
seja solução particular de
, calculamos
e portanto
Passo 4
Como
, a parte não homogênea tem que ser
. Assim a equação diferencial buscada é