Resolva os problemas abaixo:
b) Determine uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes no qual y_{1}=1 e y_{2}=e^{-x} sejam soluções da equação homogênea associada e y_{p}=\frac{x^{2}}{2}-x seja uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes tal que as soluções da equação homogênea sejam \,y_{1}=1 e \,y_{2}=e^{-x}
e que tenha uma solução particular \,y_{p}=\frac{x^{2}}{2}-x
para a parte não homogênea.

Passo 2

Como as soluções homogêneas são \,1 e e^{-x}, as raízes do polinômio característico são
r=0,\quad r=-1,
isto é, o polinômio é r(r+1)=0. Logo a equação homogênea é
y''+y'=0.

Passo 3

Denotamos o operador linear por L[y]=y''+y'. Para que y_{p}=\tfrac{x^{2}}{2}-x seja solução particular de L[y]=g(x), calculamos
y_{p}'=x-1, \quad y_{p}''=1
e portanto
L[y_{p}]=y_{p}''+y_{p}'=1+(x-1)=x.

Passo 4

Como L[y_{p}]=x, a parte não homogênea tem que ser g(x)=x. Assim a equação diferencial buscada é
y''+y'=x.

Resposta

y''+y'=x.

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