Resolva os problemas abaixo
y^prime+x^-1 y-cos (x) y^-2=0, y(1)=1

Passo 1

Neste exercício a gente tem uma EDO de primeira ordem não linear com condição inicial:
Equação: y’ + x^{-1} y - \cos(x) y^{-2} = 0, y(1)=1. O conteúdo aqui é transformação de equação de Bernoulli (ou introdução de u=y^3) para linearizar e depois usar fator integrante.

Passo 2

Primeiro, multiplico toda a equação por y^2 para aproveitar a derivada de y^3. A gente obtém:
Multiplicando por y^2:
y^2 y' + x^-1 y^3 - cos(x) = 0
Repare que (y^3)' = 3y^2y', então posso definir u = y^3 e escrever y^2y’ = (1/3)u’.

Passo 3

Substituindo u = y^3, a equação vira uma EDO linear em u:
(1/3)u' + x^-1u - cos(x) = 0
Multiplicando por 3:
u' + 3xu = 3cos(x)

Passo 4

Agora a gente encontra o fator integrante. Como o coeficiente de u é 3/x, temos:
mu(x) = e^integral (3/x)dx = e^3ln|x| = x^3
Multiplicando a EDO por x^3:
(u,x^3)' = 3x^3cos(x)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito precisamos de integral 3x^3cos(x)dx. Aplicando integração por partes repetidas vezes (ou usando fórmula padrão), chega-se a:
u x^3 = 3x^3sin(x) + 9x^2cos(x) - 18xsin(x) - 18cos(x) + C

Passo 6

Finalmente, dividimos por x^3 e voltamos a y, aplicando y^3=u. Aí usamos a condição y(1)=1 para achar C:
Em x=1: y^3(1)=1 dá C = 1 + 15\sin(1) + 9\cos(1).
Logo:
y^3 = 3sin(x) + 9cos(x)x - 18sin(x)x^2 - 18cos(x)x^3 + 1 + 15sin(1) + 9cos(1)x^3

Resposta

y(x)=l(3sin(x)+9cos(x)x-18sin(x)x^2-18cos(x)x^3+1+15sin(1)+9cos(1)x^3r)^1/3

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