Resolva os problemas abaixo
Passo 1
Neste exercício a gente tem uma EDO de primeira ordem não linear com condição inicial:
Equação: y’ + x^{-1} y - \cos(x) y^{-2} = 0, y(1)=1. O conteúdo aqui é transformação de equação de Bernoulli (ou introdução de u=y^3) para linearizar e depois usar fator integrante.
Equação: y’ + x^{-1} y - \cos(x) y^{-2} = 0, y(1)=1. O conteúdo aqui é transformação de equação de Bernoulli (ou introdução de u=y^3) para linearizar e depois usar fator integrante.
Passo 2
Primeiro, multiplico toda a equação por y^2 para aproveitar a derivada de y^3. A gente obtém:
Multiplicando por y^2:
Repare que
, então posso definir u = y^3 e escrever y^2y’ = (1/3)u’.
Passo 3
Substituindo u = y^3, a equação vira uma EDO linear em u:
Multiplicando por 3:
Passo 4
Agora a gente encontra o fator integrante. Como o coeficiente de u é 3/x, temos:
Multiplicando a EDO por x^3:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito precisamos de
. Aplicando integração por partes repetidas vezes (ou usando fórmula padrão), chega-se a:
Passo 6
Finalmente, dividimos por x^3 e voltamos a y, aplicando y^3=u. Aí usamos a condição y(1)=1 para achar C:
Em x=1: y^3(1)=1 dá C = 1 + 15\sin(1) + 9\cos(1).
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