Resolva os problemas abaixo
y^prime+x^-1 y=x^-2 y^4, y(-1)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem a equação:
y' + 1x y = 1x^2 y^4
E a condição inicial é $ y(-1) = -2 $.
Essa é uma equação diferencial do primeiro grau, mas que não é linear por causa do termo $ y^{4} $. Para resolver, vamos usar o método de Bernoulli, que transforma essa equação não linear numa linear. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica e fazer algumas substituições legais para simplificar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
Comparando com a nossa equação:
  • $ P(x) = \frac{1}{x} $
  • $ Q(x) = \frac{1}{x^{2}} $
  • $ n = 4 $
O método de Bernoulli sugere fazermos uma substituição para linearizar a equação. Definimos uma nova função $ v $ relacionada a $ y $:
P(x) = 1x

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de $ v $ em relação a $ x $. Usando a regra da cadeia:
v
Mas queremos expressar $ y’ $ em termos de $ v $. Da nossa definição de $ v $:
x
Derivando ambos os lados:
dvdx = -3 y^-4 y'

Passo 4

Vamos substituir $ y’ $ na equação original:
y'
Simplificando os termos:
13 v^-43 dvdx + 1x v^-13 = 1x^2 (v^-13)^4

Passo 5

Vamos multiplicar toda a equação por $ 3 v^{\frac{4}{3}} $ para limpar os expoentes negativos:
3 v^43
Agora, temos uma equação linear em $ v $:
dvdx + 3 cdot 1x v = 3x^2

Passo 6

Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ x^{3} $:
x^3
Isso simplifica para:
x^3 dvdx + 3 x^2 v = 3 x

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
O que resulta em:
integral ddx (x^3 v) dx = integral 3x , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para $ v $:
v
Lembrando que $ v = y^{-3} $, substituímos de volta:
v = 32 x^2 + Cx^3 = 32 x^-1 + C x^-3

Passo 10

Vamos resolver para $ y $:
y

Passo 11

Aplicamos a condição inicial $ y(-1) = -2 $:
y(-1) = -2
Simplificando:
-2 = ( 32 (-1)^-1 + C (-1)^-3 )^-13
Elevando ambos os lados ao poder de -2 = ( -32 - C )^-13 :
-3
(-2)^-3 = -32 - C
Resolvendo para $ C $:
-18 = -32 - C

Resposta

Substituindo $ C = -\frac{11}{8} $ na expressão de $ y $:
C = -118
Essa é a solução da equação diferencial dada com a condição inicial $ y(-1) = -2 $.

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