Resolva os problemas abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem a equação:
E a condição inicial é $ y(-1) = -2 $.
Essa é uma equação diferencial do primeiro grau, mas que não é linear por causa do termo $ y^{4} $. Para resolver, vamos usar o método de Bernoulli, que transforma essa equação não linear numa linear. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica e fazer algumas substituições legais para simplificar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
- $ P(x) = \frac{1}{x} $
- $ Q(x) = \frac{1}{x^{2}} $
- $ n = 4 $
O método de Bernoulli sugere fazermos uma substituição para linearizar a equação. Definimos uma nova função $ v $ relacionada a $ y $:
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de $ v $ em relação a $ x $. Usando a regra da cadeia:
Mas queremos expressar $ y’ $ em termos de $ v $. Da nossa definição de $ v $:
Derivando ambos os lados:
Passo 4
Vamos substituir $ y’ $ na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos multiplicar toda a equação por $ 3 v^{\frac{4}{3}} $ para limpar os expoentes negativos:
Agora, temos uma equação linear em $ v $:
Passo 6
Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ x^{3} $:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
O que resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para $ v $:
Lembrando que $ v = y^{-3} $, substituímos de volta:
Passo 10
Vamos resolver para $ y $:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial $ y(-1) = -2 $:
Simplificando:
Elevando ambos os lados ao poder de
:
Resolvendo para $ C $:
Resposta
Substituindo $ C = -\frac{11}{8} $ na expressão de $ y $:
Essa é a solução da equação diferencial dada com a condição inicial $ y(-1) = -2 $.