Resolva os problemas abaixo
y^prime=1+e^y-x+3

Passo 1

Neste exercício, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem y'=1+e^y-x+3. O conteúdo que vamos usar é resolução de EDOs por separação de variáveis através de uma substituição inteligente.

Passo 2

Fazemos a substituição u=y - x + 3. Assim, calculamos
dudx=y'-1
Como y'-1=e^y-x+3=e^u, obtemos
dudx=e^u
Essa equação é separável. Integramos ambos os lados:
integral e^-u,du=integral dx
A integral de e^-u é -e^-u, logo
-e^-u=x+C

Passo 3

Isolando u, temos e^-u=-x-C, que reescrevemos como e^-u=C1-x. Tomando logaritmo,
-u=ln(C1-x)Longrightarrow u=-ln(C1-x)
Voltando à variável original com u=y-x+3, chega-se a
y-x+3=-ln(C1-x)
Isolando y, obtemos a solução geral.

Resposta

y(x)=x-3-\ln(C-x)

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