Resolva os problemas:
Determine o valor de k para que o sistema
-3 x+2 y=3-k
4 x-22=2
-4 y+3 z=1
seja possível e indeterminado.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em três incógnitas x,y,z\)
\[\begin{cases} -3x + 2y + 0z = 3 - k,\\\\ 4x + 0y - 2z = 2,\\\\ 0x - 4y + 3z = 1, \end{cases}
e pede o valor de k\] para que o sistema seja possível e indeterminado. Vamos usar o Teorema de Rouché–Capelli, que diz que o sistema tem infinitas soluções se, e somente se,
\[\rank(A) \;=\; \rank\bigl([A\mid b]\bigr)\;<\;3,\]
onde \(A é a matriz de coeficientes e [A\mid b] é a matriz aumentada.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
Como \rank(A)=2\), existe uma relação linear entre linhas de \(A\). Procuramos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\alpha\,( -3,2,0 )+\beta\,(4,0,-2)+\gamma\,(0,-4,3)=(0,0,0).