Resolva os problemas a seguir:
Quantos algarismos tem o número \sum_{k=0}^{100} C_{100, k} \cdot 99^{100-k} ?

Passo 1

O enunciado pede: "Quantos algarismos tem o número
S=\sum_{k=0}^{100} C_{100,k}\cdot 99^{100-k} ?
Informações dadas:
  • A soma vai de k=0 até k=100.
  • Em cada termo aparece o coeficiente binomial C_{100,k} (ou seja \displaystyle C_{100,k}=\frac{100!}{k!(100-k)!}).
    A pergunta é apenas o número de algarismos do inteiro S.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vou usar): para quaisquer números a,b e inteiro n\ge0 vale a identidade do binômio:
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_{n,k}\,a^{k}\,b^{\,n-k}.
Explicando essa fórmula de forma simples: ela diz que ao desenvolver (a+b)^n usando multiplicações sucessivas, os coeficientes que aparecem são exatamente os C_{n,k}. Um exemplo pequeno para ver a ideia: para n=2,
(a+b)^2=C_{2,0}a^0b^2+C_{2,1}a^1b^1+C_{2,2}a^2b^0= b^2+2ab+a^2.

Passo 3

Aplicando a identidade do binômio ao nosso caso, escolha a=1, b=99 e n=100. Então
(1+99)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100,k}\,1^{k}\,99^{100-k}.
Como 1^{k}=1 para todo k, a soma à direita é exatamente S. Logo
S=(1+99)^{100}=100^{100}.

Passo 4

Simplificando 100^{100}: escrevendo 100 como potência de 10 temos 100=(10^2). Portanto
100^{100}=(10^2)^{100}=10^{200}.
Esse é um número inteiro muito especial: é 1 seguido de 200 zeros.

Passo 5

Regra geral para contar algarismos: se N é um inteiro positivo, o número de algarismos de N é \lfloor\log_{10}N\rfloor+1. No caso especial de 10^{m} (com m inteiro não negativo) temos imediatamente que o número tem m+1 algarismos, pois \log_{10}(10^{m})=m.
Aplicando isso ao nosso número \,10^{200}\, obtemos que o número de algarismos é
200+1=201.

Resposta

201

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