Resolva os problemas a seguir:
Quantos algarismos tem o número
?
Quantos algarismos tem o número
Passo 1
O enunciado pede: "Quantos algarismos tem o número
Informações dadas:
- A soma vai de
até . - Em cada termo aparece o coeficiente binomial
(ou seja ).
A pergunta é apenas o número de algarismos do inteiro.
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vou usar): para quaisquer números
e inteiro
vale a identidade do binômio:
Explicando essa fórmula de forma simples: ela diz que ao desenvolver
usando multiplicações sucessivas, os coeficientes que aparecem são exatamente os
. Um exemplo pequeno para ver a ideia: para
,
Passo 3
Aplicando a identidade do binômio ao nosso caso, escolha
,
e
. Então
Como
para todo
, a soma à direita é exatamente
. Logo
Passo 4
Simplificando
: escrevendo
como potência de
temos
. Portanto
Esse é um número inteiro muito especial: é
seguido de
zeros.
Passo 5
Regra geral para contar algarismos: se
é um inteiro positivo, o número de algarismos de
é
. No caso especial de
(com
inteiro não negativo) temos imediatamente que o número tem
algarismos, pois
.
Aplicando isso ao nosso número
obtemos que o número de algarismos é