Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
A questão pede para resolver o problema de valor inicial
com condição
. O conteúdo é equação diferencial exata: precisamos checar exatidão, encontrar uma função potencial
cuja diferencial é a equação dada e então usar a condição inicial.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata calculando as derivadas parciais de
e
:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
tal que
nos integramos em relação a :
nos integramos em relação a
Passo 4
Agora, impondo
calculamos
calculamos
e igualamos a
. Logo
e integrando em
temos
$$
h(y)=-y + C_{0}$$
(chavemos absorvido depois como constante geral).
(chavemos
Passo 5
A solução geral implícita fica então
Usando a condição inicial
,
Passo 6
Portanto, a solução do problema de valor inicial, de forma implícita, é