Resolva os problemas de valor inicial abaixo:

Passo 1

A questão pede para resolver o problema de valor inicial
(x+y)^2,dx + l(2xy + x^2 - 1r),dy = 0,
com condição y(1)=e. O conteúdo é equação diferencial exata: precisamos checar exatidão, encontrar uma função potencial Phi(x,y) cuja diferencial é a equação dada e então usar a condição inicial.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata calculando as derivadas parciais de
M(x,y)=(x+y)^2 e N(x,y)=2xy+x^2-1:
partial Mpartial y=2(x+y),
partial Npartial x=2y+2x=2(x+y)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y)=(x+y)^2,
nos integramos em relação a x:
Phi(x,y)=integral (x+y)^2,dx=integrall(x^2+2xy+y^2r)dx =x^33+x^2y+xy^2+h(y)

Passo 4

Agora, impondo
partial Phipartial y=N(x,y)=2xy+x^2-1,
calculamos
partial Phipartial y=x^2+2xy+h'(y)
e igualamos a 2xy+x^2-1. Logo
h'(y)=-1
e integrando em y temos
$$
h(y)=-y + C_{0}$$
(chavemos h(y)=-y + C0 absorvido depois como constante geral).

Passo 5

A solução geral implícita fica então
Phi(x,y)=x^33+x^2y+xy^2-y=C
Usando a condição inicial y(1)=e,
1^33+1^2,e+1,e^2-e=13+e+e^2-e=13+e^2=C

Passo 6

Portanto, a solução do problema de valor inicial, de forma implícita, é
x^33+x^2y+xy^2-y=13+e^2

Resposta

x^33+x^2y+xy^2-y=13+e^2

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