Sejam c, L in R tais que lim x 1 2 x^3+c x+cx^2-1=L. Determine c e L.
9. Se lim x 4 f(x)-5x-2=1, determine lim x 4 f(x).
10. Se lim x 2 f(x)x^2=1, determine lim x 2 f(x)x e lim x 2 f(x).
11. Seja f uma função tal que raiz5-2 x^2 <= f(x) <= raiz5-x^2 para -1 <= x <= 1. Determine lim x 0 f(x).
12. Seja f: R R uma função tal que 2-x^2 <= f(x) <= 2 cos x para qualquer x. Determine lim x 0 f(x).
13. Seja f: R R uma função tal que |f(x)| <= 2|x| para qualquer x. Calcule f: R R.
14. Seja lim x 0 f(x) uma função tal que f, g: R R para qualquer |sen x| <= f(x) <= 3|x|. Calcule 0 <= g(x) <= 1+|sen x| e x in R.
15. Sejam lim x 0(f(x) g(x)+cos x) tais que f e lim x -infty 3 x+7x^2-2, para qualquer . Calcule .
16. Seja a função definida por:

Passo 1

Para a expressão limxto12x^3+cx+cx^2-1=L existir finita, o denominador zera em x=1, então o numerador também deve zerar em x=1. Daí
2cdot1^3+ccdot1+c=0
logo 2+2c=0 e c=-1. Cancelando o fator x-1 e avaliando em x=1, obtemos L=5/2.

Passo 2

Como limxto4f(x)-5x-2=1 e x-2to2neq0, podemos escrever
limxto4f(x)-52=1
logo limxto4f(x)=7.

Passo 3

Dado limxto2f(x)x^2=1 e x^2to4neq0, tem-se
limxto2f(x)=4. Logo
limxto2f(x)x=42=2

Passo 4

Pela desigualdade raiz5-2x^2<= f(x)<=raiz5-x^2 e o Teorema do Confronto, em xto0 temos ambas as extremas tendendo a raiz5. Assim limxto0f(x)=raiz5.

Passo 5

Para 2-x^2<= f(x)<=2cos x, em xto0 os limites das funções-guia são 2 e 2, então por confronte limxto0f(x)=2.

Passo 6

Se |f(x)|<=2|x|, então
|f(x^3)|<=2|x^3| e
|f(x^3)x|<=2|x^2|to0
Logo o limite é 0.

Passo 7

Temos
1+x^2+x^63<= f(x)+1<=sec(x^2)+x^63
Em xto0 ambas as extremas tendem a 1, então f(x)+1to1 e f(x)to0.
Para f(x)cosl(1/(x+x^2)r), como f(x)to0 e cos é limitada, o produto tende a 0.

Passo 8

Com |sin x|<= f(x)<=3|x| e 0<= g(x)<=1+|sin x|, temos f(x)to0 e g(x) limitado. Logo f(x)g(x)to0 e cos xto1, dando soma 1.

Passo 9

Para limxto-infty3x+7x^2-2, o grau do denominador é maior, então o limite vale 0.

Resposta

c = -1, L = \tfrac{5}{2}; 9) limxto4f(x)=7; 10) limxto2tfracf(x)x=2 e limxto2f(x)=4; 11) raiz5; 12) 2; 13) 0; 14) limxto0f(x)=0 e limxto0f(x)cosl(1/(x+x^2)r)=0; 15) 1; 16) 0.

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