Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=3 \operatorname{sen} 2 t \\\ y(0)=2 y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • EDO dada:
y'' + 4y = 3\sin 2t.
  • Condição inicial escrita no enunciado como y(0)=2 y'(0)=-1. Isto é uma igualdade em cadeia, ou seja:
y(0) = -1,\qquad 2y'(0) = -1 \Rightarrow y'(0) = -\tfrac{1}{2}.
  • O que pedem: resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace e obter y(t).

Passo 2

Rápida aulazinha sobre a transformada de Laplace e as propriedades que vamos usar (sem pânico, eu guio passo a passo).
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt.
Chamamos F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
  • Propriedades úteis (que usaremos):
    1. Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=aF+bG.
    2. Derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} então
    \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Essas fórmulas são fundamentais porque transformam derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s) e aparecem os termos iniciais.
  • Transformadas básicas que vamos usar: \mathcal{L}\{\sin a t\}=\frac{a}{s^2+a^2},\qquad \mathcal{L}\{\cos a t\}=\frac{s}{s^2+a^2}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à EDO inteira.
Tomo Laplace em ambos os lados de
y''+4y=3\sin 2t.
Usando as fórmulas de derivada e linearidade:
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y\}=3\mathcal{L}\{\sin 2t\}.
Substituindo:
\bigl(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)\bigr)+4Y(s)=3\cdot\frac{2}{s^2+4}.
Agora substituo os valores iniciais y(0)=-1 e y'(0)=-\tfrac{1}{2}:
s^2Y(s)-s(-1)-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)+4Y(s)=\frac{6}{s^2+4}.
Simplificando os termos independentes:
s^2Y(s)+s+\tfrac{1}{2}+4Y(s)=\frac{6}{s^2+4}.

Passo 4

Isolar Y(s) (algebra pura).
Junto os termos com Y(s):
\bigl(s^2+4\bigr)Y(s) + s + \tfrac{1}{2} = \frac{6}{s^2+4}.
Passo o termo s+\tfrac{1}{2} para o outro lado e divido por s^2+4:
Y(s)=\frac{\dfrac{6}{s^2+4} - \left(s+\tfrac{1}{2}\right)}{s^2+4}.
Coloco num único quociente:
Y(s)=\frac{6 - \left(s+\tfrac{1}{2}\right)(s^2+4)}{(s^2+4)^2}.
Faço a multiplicação no numerador:
\left(s+\tfrac{1}{2}\right)(s^2+4)=s^3+\tfrac{1}{2}s^2+4s+2,
então
Y(s)=\frac{6 - \bigl(s^3+\tfrac{1}{2}s^2+4s+2\bigr)}{(s^2+4)^2} =\frac{-s^3-\tfrac{1}{2}s^2-4s+4}{(s^2+4)^2}.

Passo 5

Fazer decomposição em frações que seja fácil inverter a transformada.
Tentamos escrever Y(s) na forma
Y(s)=\frac{A s + B}{s^2+4}+\frac{C s + D}{(s^2+4)^2},
porque as transformadas inversas de termos \dfrac{s}{s^2+4}, \dfrac{1}{s^2+4} e das potências (s^2+4)^{-2} são conhecidas (ou fáceis de obter).
Multiplicando ambos os lados por (s^2+4)^2 obtemos:
-s^3-\tfrac{1}{2}s^2-4s+4=(A s + B)(s^2+4) + (C s + D).
Desenvolvendo o lado direito:
(A s + B)(s^2+4)+Cs+D = A s^3 + B s^2 + 4A s + 4B + C s + D.
Agrupando coeficientes por potências de s:
s^3:\\ A,\qquad s^2:\\ B,\qquad s^1:\\\ 4A+C,\qquad s^0:\\\ 4B+D.
Comparando com o numerador à esquerda -s^3-\tfrac{1}{2}s^2-4s+4 obtemos o sistema:
A=-1,\quad B=-\tfrac{1}{2},\quad 4A+C=-4,\quad 4B+D=4.
Resolvo:
A=-1,\quad B=-\tfrac{1}{2},\quad C=0\\ (\text{pois }4(-1)+C=-4\Rightarrow C=0),\quad D=6\\ (\text{pois }4(-\tfrac{1}{2})+D=4\Rightarrow -2+D=4).
Logo a decomposição é
Y(s)=\frac{-s-\tfrac{1}{2}}{s^2+4}+\frac{6}{(s^2+4)^2}.

Passo 6

Agora invertemos a transformada termo a termo.
  • Primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-s}{s^2+4}\right\} = -\cos 2t,
porque \mathcal{L}\{\cos 2t\}=\dfrac{s}{s^2+4}.
  • Segundo termo dentro do mesmo quociente:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-\tfrac{1}{2}}{s^2+4}\right\} = -\tfrac{1}{2}\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^2+4}\right\}.
E sabemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^2+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin 2t,
porque \mathcal{L}\{\sin 2t\}=\dfrac{2}{s^2+4}. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-\tfrac{1}{2}}{s^2+4}\right\} = -\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\sin 2t = -\tfrac{1}{4}\sin 2t.
  • Terceiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{6}{(s^2+4)^2}\right\}.
Usamos a fórmula (ou a obtemos resolvendo combinação linear): para a>0,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s^2+a^2)^2}\right\} =\frac{1}{2a^3}\bigl(\sin a t - a t\cos a t\bigr).
Aqui a=2, então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s^2+4)^2}\right\}=\frac{1}{16}\bigl(\sin 2t - 2t\cos 2t\bigr).
Multiplicando por 6:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{6}{(s^2+4)^2}\right\} =6\cdot\frac{1}{16}\bigl(\sin 2t - 2t\cos 2t\bigr) =\frac{3}{8}\sin 2t - \frac{3}{4}t\cos 2t.
  • Somando tudo:
y(t) = \underbrace{-\cos 2t}_{\text{do }-s/(s^2+4)} \; +\; \underbrace{-\tfrac{1}{4}\sin 2t}_{\text{do }-(1/2)/(s^2+4)} \; +\; \underbrace{\frac{3}{8}\sin 2t - \frac{3}{4}t\cos 2t}_{\text{do }6/(s^2+4)^2}.
Combine os termos em \sin 2t:
-\tfrac{1}{4}\sin 2t + \tfrac{3}{8}\sin 2t = \tfrac{1}{8}\sin 2t.
Portanto
y(t) = -\cos 2t + \tfrac{1}{8}\sin 2t - \tfrac{3}{4}t\cos 2t.

Passo 7

Verificação rápida (só para dar confiança): em t=0 temos y(0)=-1 (pois -\cos0=-1 e os outros termos ficam zero); derivando e avaliando em 0 obtém-se y'(0)=-\tfrac{1}{2}. Portanto as condições iniciais batem com a solução encontrada.

Resposta

y(t)=-\cos 2t+\dfrac{1}{8}\sin 2t-\dfrac{3}{4}\,t\cos 2t

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