Sabendo que as funções abaixo são periódicas com período T, calcule \mathfrak{L}\left\{f(t)\right\}. f(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leq t<1 \\\\ -1, & 1 \geq t<2\end{array} \quad T=2\right..
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada de Laplace de f(t)\) sabendo que \(f\) é periódica com período \(T\). As informações dadas são:
- A função \(f(t)\) está definida por
\[f(t)=\begin{cases} 1, & 0 \le t<1,\\[4pt] -1, & 1 \le t<2, \end{cases}
O período é T=2\].
O que se pede: calcular \(\mathfrak{L}\{f(t)\}, a transformada de Laplace de f.]
Passo 2
Idéia geral (sem entrar em contas ainda): para uma função periódica de período T existe uma fórmula prática que reduz a integral de 0 a \infty a uma integral só em um período. Vou mostrar e justificar essa fórmula, pois é a ferramenta que facilita muito na prova.
Agora simplificamos a expressão. Note que 1-e^{-2s}=(1-e^{-s})(1+e^{-s}). Cancelando um fator 1-e^{-s} (válido para s tal que não seja singular), obtemos
Podemos ainda escrever a resposta numa forma mais compacta e elegante usando a função hiperbólica tangente. Multiplicando numerador e denominador por e^{s/2} e usando identidades exponenciais tem-se