Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial linear de segunda ordem e condições iniciais. Escrevendo claramente o que foi dado e o que se pede:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O problema pede encontrar a solução
válida para
.
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro uma mini-aula com as fórmulas que precisamos (tudo com explicações simples).
- Definição (intuição): a transformada de Laplace de uma função
é a função de
Ela transforma equações diferenciais em equações algébricas em
, o que facilita resolver para
.
- Linearidade:
- Transformadas úteis:
válidas para
.
- Transformada de derivadas (muito importante;
):
Essas fórmulas permitem traduzir
para expressões em
envolvendo
e os valores iniciais.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação inteira. Tomando
em ambos os lados:
Agora substituir as fórmulas das derivadas e a transformada do lado direito.
Usando as condições iniciais
:
E para o lado direito, usando
, temos
Substituindo tudo na equação transformada:
Passo 4
Simplificar a equação em
. Expandindo os parênteses:
Agrupando os termos em
e os termos independentes:
Isolando
(movendo
para o lado direito):
Observação:
. Portanto
Para organizar para inversão, é conveniente juntar termos sobre um denominador comum. Multiplicando o primeiro termo por
e somando ao segundo termo, obtemos
Passo 5
Fazer decomposição em frações parciais. Como o denominador tem um fator repetido
e fatores simples
, procuramos uma decomposição do tipo
Multiplicando por
obtemos a identidade polinomial
Agora determinamos
. É prático avaliar em valores de
que zere fatores:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora falta
. Podemos escolher um valor simples, por exemplo
:
No lado direito, com os coeficientes já encontrados:
Calculando termos:
Somando:
Igualando a
:
Assim os coeficientes são:
Passo 6
Reescrever
com as frações parcais encontradas:
Passo 7
Aplicar a transformada inversa termo a termo. Usamos as fórmulas básicas:
Inversão de cada termo:
Somando os termos, a solução no tempo é
Podemos agrupar os termos em
se preferir:
Passo 8
Verificação rápida (sanidade): em
,
ok. Derivando e avaliando em
obtém-se
, conforme a condição inicial (a verificação detalhada das derivadas é exercíciável, mas os cheques rápidos confirmam consistência).