Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t} \\\ y(0)=1 \quad y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial linear de segunda ordem e condições iniciais. Escrevendo claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Equação diferencial: y''-2y'-3y=3t e^{2t}.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O problema pede encontrar a solução y(t) válida para t\ge0.

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro uma mini-aula com as fórmulas que precisamos (tudo com explicações simples).
  • Definição (intuição): a transformada de Laplace de uma função f(t) é a função de s
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Ela transforma equações diferenciais em equações algébricas em s, o que facilita resolver para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
  • Linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformadas úteis:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},\qquad \mathcal{L}\{t e^{at}\}=\frac{1}{(s-a)^2},
válidas para \Re(s)>a.
  • Transformada de derivadas (muito importante; \,Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}\,):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas permitem traduzir y'',y',y para expressões em s envolvendo Y(s) e os valores iniciais.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação inteira. Tomando \mathcal{L} em ambos os lados:
\mathcal{L}\{y''\} -2\mathcal{L}\{y'\} -3\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{3t e^{2t}\}.
Agora substituir as fórmulas das derivadas e a transformada do lado direito.
Usando as condições iniciais \,y(0)=1,\;y'(0)=0:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\cdot 1 -0 = s^{2}Y(s)-s,
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-1,
\mathcal{L}\{y\}=Y(s).
E para o lado direito, usando \mathcal{L}\{t e^{2t}\}=\dfrac{1}{(s-2)^2}, temos
\mathcal{L}\{3t e^{2t}\}=3\cdot \frac{1}{(s-2)^2}=\frac{3}{(s-2)^2}.
Substituindo tudo na equação transformada:
\big(s^{2}Y(s)-s\big) -2\big(sY(s)-1\big) -3Y(s) = \frac{3}{(s-2)^2}.

Passo 4

Simplificar a equação em Y(s). Expandindo os parênteses:
s^{2}Y(s)-s -2sY(s)+2 -3Y(s) = \frac{3}{(s-2)^2}.
Agrupando os termos em Y(s) e os termos independentes:
\big(s^{2}-2s-3\big)Y(s) +(-s+2) = \frac{3}{(s-2)^2}.
Isolando Y(s) (movendo -s+2 para o lado direito):
\big(s^{2}-2s-3\big)Y(s) = \frac{3}{(s-2)^2} + s -2.
Observação: \,s^{2}-2s-3=(s-3)(s+1). Portanto
Y(s)=\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} + \frac{3}{(s-2)^2 (s-3)(s+1)}.
Para organizar para inversão, é conveniente juntar termos sobre um denominador comum. Multiplicando o primeiro termo por \dfrac{(s-2)^2}{(s-2)^2} e somando ao segundo termo, obtemos
Y(s)=\frac{(s-2)^3+3}{(s-2)^2 (s-3)(s+1)}.

Passo 5

Fazer decomposição em frações parciais. Como o denominador tem um fator repetido (s-2)^2 e fatores simples (s-3),(s+1), procuramos uma decomposição do tipo
\frac{(s-2)^3+3}{(s-2)^2 (s-3)(s+1)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{(s-2)^2}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{s+1}.
Multiplicando por (s-2)^2 (s-3)(s+1) obtemos a identidade polinomial
(s-2)^3+3 = A (s-2)(s-3)(s+1) + B (s-3)(s+1) + C (s-2)^2 (s+1) + D (s-2)^2 (s-3).
Agora determinamos A,B,C,D. É prático avaliar em valores de s que zere fatores:
  • Para s=2:
(2-2)^3+3 = 3 = B(2-3)(2+1)=B(-1)(3)=-3B \quad\Rightarrow\quad B=-1.
  • Para s=3:
(3-2)^3+3=1+3=4 = C(3-2)^2(3+1)=C\cdot1\cdot4=4C \quad\Rightarrow\quad C=1.
  • Para s=-1:
(-1-2)^3+3 = (-3)^3+3=-27+3=-24 = D(-1-2)^2(-1-3)=D\cdot9\cdot(-4)=-36D \quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{2}{3}.
Agora falta A. Podemos escolher um valor simples, por exemplo s=0:
(0-2)^3+3=-8+3=-5.
No lado direito, com os coeficientes já encontrados:
A(0-2)(0-3)(0+1)+B(0-3)(0+1)+C(0-2)^2(0+1)+D(0-2)^2(0-3).
Calculando termos:
A(-2)(-3)(1)=6A,\qquad B(-3)(1)=-3B= -3(-1)=3,
C(4)(1)=4\cdot1=4,\qquad D(4)(-3)=-12D=-12\cdot\frac{2}{3}=-8.
Somando:
6A + 3 + 4 -8 = 6A -1.
Igualando a -5:
6A -1 = -5 \quad\Rightarrow\quad 6A = -4 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{2}{3}.
Assim os coeficientes são:
A=-\tfrac{2}{3},\quad B=-1,\quad C=1,\quad D=\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Reescrever Y(s) com as frações parcais encontradas:
Y(s)= -\tfrac{2}{3}\cdot\frac{1}{s-2} \;-\; \frac{1}{(s-2)^2} \;+\; \frac{1}{s-3} \;+\; \tfrac{2}{3}\cdot\frac{1}{s+1}.

Passo 7

Aplicar a transformada inversa termo a termo. Usamos as fórmulas básicas:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-a)^2}\}=t e^{at}.
Inversão de cada termo:
  • \mathcal{L}^{-1}\{-\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{s-2}\} = -\tfrac{2}{3} e^{2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{-\tfrac{1}{(s-2)^2}\} = - t e^{2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-3}\} = e^{3t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{s+1}\} = \tfrac{2}{3} e^{-t}.
Somando os termos, a solução no tempo é
y(t)=e^{3t} - t e^{2t} - \tfrac{2}{3}e^{2t} + \tfrac{2}{3}e^{-t}.
Podemos agrupar os termos em e^{2t} se preferir:
y(t)=e^{3t} - e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big) + \tfrac{2}{3}e^{-t}.

Passo 8

Verificação rápida (sanidade): em t=0,
y(0)=1 - 0 - \tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3}=1,
ok. Derivando e avaliando em 0 obtém-se y'(0)=0, conforme a condição inicial (a verificação detalhada das derivadas é exercíciável, mas os cheques rápidos confirmam consistência).

Resposta

y(t)=e^{3t} - e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big) + \tfrac{2}{3}e^{-t}.

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