Calcule f^prime, f^prime prime e f^prime prime prime das funções abaixo.
f(x)=e^xx

Passo 1

O enunciado pede as três primeiras derivadas da função
f(x)=e^xx
O conteúdo aqui é regra do produto (ou quociente) e derivação de potências. Vamos reescrever
f(x)=e^x,x^-1
e aplicar sucessivamente a regra do produto e a derivada de x^n.

Passo 2

Para obter f'(x), aplicamos a regra do produto em
e^x e x^-1:
f'(x)=l(e^xr)'x^-1+e^xl(x^-1r)'
Sabendo que l(e^xr)'=e^x e l(x^-1r)'=-x^-2, temos
f'(x)=e^xx^-1+e^x(-x^-2) =e^xl(1x-1x^2r) =e^x,x-1x^2

Passo 3

Agora calculamos f''(x) derivando
f'(x)=e^xx-1x^2
pela regra do produto entre e^x e g(x)=x-1x^2:
f''(x)=e^xx-1x^2+e^x,g'(x)
Para g'(x), use quociente com u=x-1, v=x^2:
g'(x)=u'v-u,v'v^2 =1cdot x^2-(x-1)cdot2xx^4 =x^2-2x^2+2xx^4 =-x^2+2xx^4 =-x+2x^3
Logo
f''(x) =e^xx-1x^2 +e^x-x+2x^3 =e^xl(x-1x^2+-x+2x^3r) =e^x,x^2-2x+2x^3

Passo 4

Para f'''(x), derivamos
f''(x)=e^xx^2-2x+2x^3
pela regra do produto entre e^x e h(x)=x^2-2x+2x^3:
f'''(x)=e^xx^2-2x+2x^3 +e^x,h'(x)
Derivando h(x) por quociente com u=x^2-2x+2, v=x^3:
h'(x) =u'v-u,v'v^2 =(2x-2)x^3-(x^2-2x+2),3x^2x^6 =2x^4-2x^3-3x^4+6x^3-6x^2x^6 =-x^4+4x^3-6x^2x^6 =-x^2-4x+6x^4
Portanto
f'''(x) =e^xx^2-2x+2x^3 -e^xx^2-4x+6x^4 =e^xl(x^2-2x+2x^3-x^2-4x+6x^4r) =e^x,x^3-3x^2+6x-6x^4

Resposta

f'(x)=e^x,x-1x^2, f''(x)=e^x,x^2-2x+2x^3, f'''(x)=e^x,x^3-3x^2+6x-6x^4

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