Resolva os problemas de valor inicial para r como uma função vetorial de t
d^2 rd t^2=(0,0,-32) com condições iniciais r(0)=(0,0,100) e d rd t(0)=(8,8,0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função vetorial vec r(t) que satisfaça a equação de movimento d^2vec rdt^2=(0,0,-32) com as condições iniciais vec r(0)=(0,0,100) e vec r'(0)=(8,8,0). O conteúdo da matéria é integração de funções vetoriais e usaremos duas integrações sucessivas para obter a velocidade e a posição.

Passo 2

Começamos integrando a aceleração para obter a velocidade: integramos d^2vec rdt^2=(0,0,-32) em relação a t. Isso dá
vec r'(t)=integral(0,0,-32),dt=(0,0,-32t)+vec A,
onde vec A=(A1,A2,A3) é o vetor constante de integração. Usamos a condição inicial vec r'(0)=(8,8,0) para determinar vec A:
vec r'(0)=(A1,A2,A3)=(8,8,0)
Logo vec A=(8,8,0) e
vec r'(t)=(8,8,-32t)

Passo 3

Agora integramos vec r'(t)=(8,8,-32t) para obter a posição:
vec r(t)=integral(8,8,-32t),dt=(8t,8t,-16t^2)+vec B,
onde vec B=(B1,B2,B3) é outro vetor de constantes. A condição inicial vec r(0)=(0,0,100) implica
vec r(0)=(B1,B2,B3)=(0,0,100),

Passo 4

logo vec B=(0,0,100). Portanto a solução é

Resposta

vec r(t)=(8t,,8t,,100-16t^2)

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