Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional do tipo
. O conteúdo envolve técnicas de completar quadrado, mudança de variável, decomposição em frações parciais e uso de fórmulas padrão para integrais do tipo
. Vamos precisar completar o quadrado no denominador, trocar a variável para centralizar o quadrado, fazer frações parciais e aplicar integrais conhecidas.
Passo 2
Primeiro completamos o quadrado no denominador:
Passo 3
Fazemos a troca de variável
, logo
e
. A integral vira
Passo 4
Expandindo o numerador em função de
:
Passo 5
Agora decompondo em frações parciais para grau de numerador menor que 2 em cada termo:
Passo 6
Separamos a integral em duas partes:
Passo 7
Para
fazemos:
Passo 8
No primeiro termo, usamos
,
:
Passo 9
No segundo termo, aplicamos a fórmula padrão
Passo 10
Assim
Passo 11
Para
separamos:
Passo 12
No primeiro pedaço, de novo
,
Passo 13
No segundo, usamos a fórmula de redução
Passo 14
Logo
Passo 15
Somando
e voltando a
com
(em que
,
,
), obtemos a antiderivada completa.