integral x^3+2 x^2+3 x-2(x^2+2 x+2)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional do tipo integralx^3+2x^2+3x-2(x^2+2x+2)^3,dx. O conteúdo envolve técnicas de completar quadrado, mudança de variável, decomposição em frações parciais e uso de fórmulas padrão para integrais do tipo integral!dx(x^2+1)^n. Vamos precisar completar o quadrado no denominador, trocar a variável para centralizar o quadrado, fazer frações parciais e aplicar integrais conhecidas.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador:
x^2+2x+2 = (x+1)^2+1

Passo 3

Fazemos a troca de variável t = x+1, logo x = t-1 e dx = dt. A integral vira
integral (t-1)^3+2(t-1)^2+3(t-1)-2(t^2+1)^3,dt

Passo 4

Expandindo o numerador em função de t:
(t-1)^3+2(t-1)^2+3(t-1)-2 = t^3-t^2+2t-4

Passo 5

Agora decompondo em frações parciais para grau de numerador menor que 2 em cada termo:
t^3-t^2+2t-4(t^2+1)^3 = t-1(t^2+1)^2 + t-3(t^2+1)^3

Passo 6

Separamos a integral em duas partes:
I1=integral t-1(t^2+1)^2,dt, I2=integral t-3(t^2+1)^3,dt

Passo 7

Para I1 fazemos:
I1 = integral t(t^2+1)^2,dt , - integral 1(t^2+1)^2,dt

Passo 8

No primeiro termo, usamos u=t^2+1, du=2t,dt:
integral t(t^2+1)^2,dt = 12 integral u^-2,du = -12u = -12(t^2+1)

Passo 9

No segundo termo, aplicamos a fórmula padrão
integral dt(t^2+1)^2 = t2(t^2+1) + 12arctan t

Passo 10

Assim
I1 = -12(t^2+1) - l(t2(t^2+1) + 12arctan tr) = -1+t2(t^2+1) - 12arctan t

Passo 11

Para I2 separamos:
I2 = integral t(t^2+1)^3,dt , - 3 integral dt(t^2+1)^3

Passo 12

No primeiro pedaço, de novo u=t^2+1,
integral t(t^2+1)^3,dt = 12 integral u^-3,du = -14u^2 = -14(t^2+1)^2

Passo 13

No segundo, usamos a fórmula de redução
integral dt(t^2+1)^3 = t4(t^2+1)^2 + 3t8(t^2+1) + 38arctan t

Passo 14

Logo
I2 = -14(t^2+1)^2 -3l(t4(t^2+1)^2 + 3t8(t^2+1) + 38arctan tr) = -1+3t4(t^2+1)^2 - 9t8(t^2+1) - 98arctan t

Passo 15

Somando I1+I2 e voltando a x com t=x+1 (em que t^2+1=x^2+2x+2, 1+3t=3x+4, -4-13t=-13x-17), obtemos a antiderivada completa.

Resposta

integral x^3+2x^2+3x-2(x^2+2x+2)^3,dx = -3x+44,(x^2+2x+2)^2 - 13x+178,(x^2+2x+2) - 138,arctan(x+1) + C

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