Resolva os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}x(x-2) y^{\prime}+2 y=0 \\\ y(3)=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x(x-2)\,y' + 2y = 0, \quad y(3)=6.
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem e vamos usar separação de variáveis e frações parciais para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma separável, isolando y':
y' = \frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{x(x-2)}.

Passo 3

Separamos variáveis:
\frac{dy}{y} = -2\,\frac{dx}{x(x-2)}.
Para integrar, fazemos frações parciais em
-\frac{2}{x(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2}.
Temos
-2 = A(x-2) + Bx,
logo, igualando coeficientes ou testando x=0 e x=2, obtemos A=1 e B=-1. Assim
-\frac{2}{x(x-2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-2}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = \int\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2}\Bigr)dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \ln|x| - \ln|x-2| + C.
Isto dá a solução geral
\ln|y| = \ln\Bigl|\frac{x}{x-2}\Bigr| + C \quad\Longrightarrow\quad y = C_1\,\frac{x}{x-2},
onde C_1 = e^C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(3)=6:
6 = C_1\,\frac{3}{3-2} = 3C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 2.

Resposta

y(x) = \frac{2x}{x-2}.

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