Resolva os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=2 y+x\left(e^{3 x}-e^{2 x}\right) \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado é o problema de valor inicial\r
\begin{cases} y' = 2y + x\bigl(e^{3x} - e^{2x}\bigr),\\\ y(0)=2.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão y' - 2y = x\bigl(e^{3x}-e^{2x}\bigr). O fator integrante é\r
\mu(x) = e^{\int (-2)\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicando ambos os lados por \mu(x), reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr) = e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = x\bigl(e^{x}-1\bigr).

Passo 3

Integramos em relação a x:
\int x\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx = \int x e^{x}\,dx \;-\;\int x\,dx = \bigl(xe^{x}-e^{x}\bigr) \;-\;\frac{x^{2}}{2} + C.
Logo
e^{-2x}y = x e^{x} - e^{x} - \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 4

Multiplicando por e^{2x}, obtemos
y = \bigl(xe^{x}-e^{x}-\tfrac{x^{2}}{2}+C\bigr)\,e^{2x} = (x-1)e^{3x} - \frac{x^{2}}{2}\,e^{2x} + C\,e^{2x}.
Aplicando a condição inicial y(0)=2:
y(0)= -1 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C=3.

Resposta

y(x) = (x-1)e^{3x} \;-\;\frac{x^{2}}{2}\,e^{2x} \;+\;3\,e^{2x}.

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