Resolva os problemas de valor inicial:
(c) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=3 e^{-t} \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 4y' + 4y = 3e^{-t},\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear com coeficientes constantes. Vamos seguir três etapas principais: (1) achar a solução da homogênea via equação característica, (2) encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar, (3) ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0 \;\Longrightarrow\;(r-2)^2 = 0,
com raiz dupla r=2. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2\,t\,e^{2t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p para o termo forçante 3e^{-t}. Como -1 não é raiz da característica, usamos o palpite
y_p(t) = A\,e^{-t}.
Calculamos
y_p' = -A e^{-t}, \quad y_p'' = A e^{-t},
e substituímos no lado esquerdo:
y_p'' - 4y_p' + 4y_p = A e^{-t} -4(-A e^{-t}) +4A e^{-t} = (A +4A +4A)e^{-t} = 9A\,e^{-t}.
Para anular com 3e^{-t} precisamos de 9A=3, ou seja
A = \tfrac{1}{3}.
Portanto
y_p(t) = \tfrac{1}{3}e^{-t}.

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2\,t\,e^{2t} + \tfrac{1}{3}e^{-t}.

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais. Primeiro
y(0) = C_1 + C_2\cdot0 + \tfrac{1}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; C_1 = -\tfrac{1}{3}.
Em seguida calculamos y'(t). Diferenciando,
y'(t) = 2C_1 e^{2t} + C_2\bigl(e^{2t} + 2t\,e^{2t}\bigr) - \tfrac{1}{3}e^{-t}.
Em t=0 isso dá
y'(0) = 2C_1 + C_2 - \tfrac{1}{3} = 0.
Substituindo C_1=-\tfrac{1}{3},
2\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) + C_2 - \tfrac{1}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{2}{3} + C_2 - \tfrac{1}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = 1.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
y(t) = -\tfrac{1}{3}e^{2t} + t\,e^{2t} + \tfrac{1}{3}e^{-t}.

Resposta

y(t) = -\tfrac{1}{3}e^{2t} + t\,e^{2t} + \tfrac{1}{3}e^{-t}.

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