O conteúdo aqui é resolução de EDO linear com coeficientes constantes. Vamos seguir três etapas principais: (1) achar a solução da homogênea via equação característica, (2) encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar, (3) ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Resolvemos a equação homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0 \;\Longrightarrow\;(r-2)^2 = 0,
com raiz dupla r=2. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2\,t\,e^{2t}.
Passo 3
Procuramos uma solução particular y_p para o termo forçante 3e^{-t}. Como -1 não é raiz da característica, usamos o palpite
y_p(t) = A\,e^{-t}.
Calculamos
y_p' = -A e^{-t}, \quad y_p'' = A e^{-t},
e substituímos no lado esquerdo:
y_p'' - 4y_p' + 4y_p = A e^{-t} -4(-A e^{-t}) +4A e^{-t} = (A +4A +4A)e^{-t} = 9A\,e^{-t}.
Para anular com 3e^{-t} precisamos de 9A=3, ou seja