Resolva os problemas de valor inicial
(i) \left\{\begin{array}{l}x y^{2} \frac{d y}{d x}=y^{3}-x^{3} \\\ y(1)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x\,y^{2}\,\frac{dy}{dx}=y^{3}-x^{3},\quad y(1)=3,
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis após perceber que é homogênea de grau zero em y e x. Vamos usar a substituição v=y/x para reduzir a ordem.

Passo 2

Primeiro escrevemos a derivada isoladamente:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{3}-x^{3}}{x\,y^{2}} =\frac{y^{3}}{x\,y^{2}}-\frac{x^{3}}{x\,y^{2}} =\frac{y}{x}-\frac{x^{2}}{y^{2}}.

Passo 3

Fazendo v=\frac{y}{x}, temos y=v\,x e
\frac{dy}{dx}=v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação obtida em

Passo 4

v + x\,\frac{dv}{dx} =\;v - \frac{1}{v^{2}}.

Passo 5

Isolando o termo com dv/dx:
x\,\frac{dv}{dx} =-\frac{1}{v^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx}=-\frac{1}{x\,v^{2}}.
Agora separam-se as variáveis:
v^{2}\,dv = -\frac{dx}{x}.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
\int v^{2}\,dv = -\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{3}}{3} = -\ln|x| + C.

Passo 7

Multiplicando por 3 e voltando à variável y:
v^{3} = -3\ln|x| + C' \quad\text{com}\quad v=\frac{y}{x} \;\Longrightarrow\; \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{3} =C' - 3\ln|x|.
Logo
y^{3} = x^{3}\bigl(C' - 3\ln|x|\bigr).

Passo 8

Usando a condição inicial y(1)=3:
3^{3} = 1^{3}\bigl(C' - 3\ln1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 27 = C' - 0 \quad\Longrightarrow\quad C'=27.

Passo 9

Substituindo C'=27 na solução geral:
y^{3} = x^{3}\bigl(27 - 3\ln|x|\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = x\sqrt[3]{27 - 3\ln|x|}.

Resposta

\boxed{y(x) = x\sqrt[3]{27 - 3\ln|x|},\quad x>0.}

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