Resolva os problemas de valor inicial
(k) \left\{\begin{array}{l}y^{2} d x+\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) d y=0 \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y^{2}\,dx + \bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr)\,dy = 0, \quad y(0)=1.
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, com
M(x,y)=y^2,\qquad N(x,y)=x^2+xy+y^2,
que são funções homogêneas de grau 2. Vamos usar a substituição usual para equações homogêneas:
y = u\,x,\quad dy = u\,dx + x\,du.

Passo 2

Escrevendo a equação na forma \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{M}{N} obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2 + x y + y^2}.
Fazendo y=u x e dy/dx = u + x\,du/dx, a equação fica
u + x\frac{du}{dx} = -\frac{u^2 x^2}{x^2(1+u+u^2)} = -\frac{u^2}{1+u+u^2}.

Passo 3

Isolamos o termo x\,du/dx:
x\frac{du}{dx} = -\frac{u^2}{1+u+u^2}\;-\;u = -\frac{u^2 + u(1+u+u^2)}{1+u+u^2} = -\frac{u(u+1)^2}{1+u+u^2}.
Logo pode-se separar variáveis:
\frac{1+u+u^2}{u(u+1)^2}\,du = -\frac{dx}{x}.

Passo 4

Fazendo a decomposição em frações parciais
\frac{1+u+u^2}{u(u+1)^2} = \frac{1}{u} \;-\;\frac{1}{(u+1)^2},
integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{u}-\frac{1}{(u+1)^2}\Bigr)\,du = \int -\frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \ln|u| + \frac{1}{u+1} = -\ln|x| + C.

Passo 5

Volta-mos à variável original com u=y/x. Então
\ln\bigl|\tfrac{y}{x}\bigr| + \frac{1}{\tfrac{y}{x}+1} = -\ln|x| + C \;\Longrightarrow\; \ln|y| + \frac{x}{x+y} = C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. No ponto (x,y)=(0,1) a expressão
\ln(1) + \frac{0}{0+1} = 0
C=0.

Passo 7

Portanto a solução implícita que satisfaz o valor inicial é
\ln y + \frac{x}{x+y} = 0.

Resposta

\ln y + \frac{x}{x+y} = 0.

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