Resolva os problemas de valor inicial
(k)
(k)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
, com
que são funções homogêneas de grau 2. Vamos usar a substituição usual para equações homogêneas:
Passo 2
Escrevendo a equação na forma
obtemos
Fazendo
e
, a equação fica
Passo 3
Isolamos o termo
:
Logo pode-se separar variáveis:
Passo 4
Fazendo a decomposição em frações parciais
integramos ambos os lados:
Passo 5
Volta-mos à variável original com
. Então
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. No ponto
a expressão
dá
.
Passo 7
Portanto a solução implícita que satisfaz o valor inicial é