Resolva os problemas de valor inicial:
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais iniciais que você me deu. O problema envolve resolver um sistema linear de duas equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sistemas lineares, encontrar os valores próprios e vetores próprios da matriz dos coeficientes, e usar essas informações para encontrar a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Temos:
Podemos representar isso como:
onde
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculemos:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores próprios são:
Passo 4
Para cada valor próprio, encontramos um vetor próprio correspondente. Vamos começar com
:
Resolvendo
:
[
]
A partir da primeira equação:
.
Podemos escolher
, então
.
Agora, para
:
Resolvendo
:
[
]
Da primeira equação:
.
Escolhemos
, então
.
Passo 5
Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores:
Isso dá:
Passo 6
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
:
Temos o sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na segunda equação:
Resposta
A solução do sistema é: