Resolva os problemas de valor inicial: y'' + 2y' + 2y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < pi; 2, para pi <= t < 2 pi; 0, para t >= 2 pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é , onde é uma função que muda dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é , e temos as seguintes propriedades para as derivadas:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as propriedades:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que envolvem :
Isolando :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de , que é uma função por partes:
Podemos expressar usando a função degrau unitário :
A Transformada de Laplace de é , então:

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Vamos simplificar o denominador . Podemos completá-lo para:

Passo 7

Agora, vamos separar em partes que podemos inverter facilmente:
Reconhecemos que corresponde à Transformada de Laplace de . As outras frações envolvem termos atrasados, que também podemos inverter usando as propriedades da Transformada de Laplace.

Passo 8

Finalmente, aplicando a Transformada de Laplace inversa a cada termo:

Resposta

A solução da equação é
onde é a função degrau unitário que “liga” os termos a partir de .

Exercícios relacionados