Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x -infty raiz 9 x^6-xx^3+1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para encontrar o limite da função quando lim x -infty raiz9x^6 - xx^3 + 1 tende a menos infinito. A função é:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções polinomiais e raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências de se comportam quando fica muito grande (ou muito negativo) e como simplificar expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da raiz quadrada. Temos raiz9x^6 = raiz9 cdot raizx^6 = 3 cdot |x^3| . Sabemos que:
raiz9x^6 = 3 cdot (-x^3) = -3x^3
Como está indo para menos infinito ( ), será negativo. Então, . Portanto:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
raiz9x^6 - xx^3 + 1 = -3x^3 - xx^3 + 1

Passo 4

Vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é -3x^3x^3 = -3 e no denominador é . Quando tende a menos infinito, os termos de menor grau (como e ) se tornam insignificantes comparados aos termos de maior grau.
Então, podemos simplificar a expressão focando apenas nos termos de maior grau:

Passo 5

Portanto, o limite da função quando tende a menos infinito é simplesmente .

Resposta

lim x -infty raiz9x^6 - xx^3 + 1 = -3

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