Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede: resolver o problema de valor inicial
onde
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes e forçamento ).
- As condições iniciais são
e . - Precisamos determinar
para todo , isto é, obter a solução explícita (provavelmente em forma com peças devido ao ).]
Passo 2
Por que podemos usar o conceito de resposta ao impulso / convolução (explicação didática, bem passo a passo)?
- Para equações lineares com coeficientes constantes e condições iniciais nulas, a solução pode ser obtida como a convolução entre a função de entrada
e a resposta ao impulso do sistema linear. - A ideia: existe uma função
tal que, se aplicarmos uma força (delta de Dirac) ao sistema com , a solução será . Para uma entrada genérica e as mesmas condições iniciais nulas, a solução é
Essa é a fórmula da convolução entre
e
. Vou agora encontrar
.
Passo 3
Achemos a resposta ao impulso
resolvendo
- Para
(fora do ponto da delta) a equação homogênea vale: . A solução geral é
- As condições iniciais para
são e existe uma descontinuidade na derivada devido ao . Para achar o salto em integremos a equação em torno de : . Ao deixar o termo tende a zero (pois é finita), então obtemos
Como assumimos condições causais (sistema em repouso antes de
), temos
para
, logo
. Também
. Portanto
.
- Usando
na forma , logo . Assim . Derivando e impondo dá e . - Conclusão:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da convolução com a nossa
:
Observação prática:
apenas quando
; fora disso
. Assim o intervalo de integração efetivo é a interseção
. Portanto
Isso já simplifica muito: agora só precisamos avaliar essa integral dependendo da posição de
relativa a
e
. Vamos tratar os três intervalos.
Passo 5
Caso 1:
.
- Então
e os limites de integração ficam de até , mas como o intervalo é vazio. Portanto a integral é zero e
Passo 6
Caso 2:
.
- Aqui
, logo
Vamos calcular essa integral com cuidado, passo a passo. Faça a substituição
. Então
e quando
temos
, quando
temos
. Assim
Integrando
obtemos
, portanto
Podemos simplificar o argumento do cosseno usando que
(porque
tem período
). Assim
Passo 7
Caso 3:
.
- Agora
, então
Calcule de novo com a primitiva direta: uma primitiva em
é
. Assim
Use periodicidade do cosseno:
e
. Assim os dois termos se cancelam:
Portanto