Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\), em que \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { para } 0 \leq t<\pi \\\\ 2, & \text { para } \pi \leq t<3 \pi \\\\ 0, & \text { para } t \geq 3 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: resolver o problema de valor inicial
y''+4y=f(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0,
onde f(t)\) é a função em partes \[f(t)=\begin{cases} 0,& 0\le t<\pi,\\[4pt] 2,& \pi\le t<3\pi,\\[4pt] 0,& t\ge 3\pi. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  1. A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes e forçamento f(t)\] em pedaços (suporta compacta em \([\pi,3\pi)).
  2. As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0.
  3. Precisamos determinar y(t) para todo t\ge0, isto é, obter a solução explícita (provavelmente em forma com peças devido ao f(t)).]

Passo 2

Por que podemos usar o conceito de resposta ao impulso / convolução (explicação didática, bem passo a passo)?
  • Para equações lineares com coeficientes constantes e condições iniciais nulas, a solução pode ser obtida como a convolução entre a função de entrada f(t) e a resposta ao impulso h(t) do sistema linear.
  • A ideia: existe uma função h(t) tal que, se aplicarmos uma força \delta(t) (delta de Dirac) ao sistema y''+4y=\delta(t) com y(0)=y'(0)=0, a solução será h(t). Para uma entrada genérica f(t) e as mesmas condições iniciais nulas, a solução é
y(t)=\int_{0}^{t} h(t-s)\,f(s)\,ds.
Essa é a fórmula da convolução entre h e f. Vou agora encontrar h(t).

Passo 3

Achemos a resposta ao impulso h(t) resolvendo
h''(t)+4h(t)=\delta(t),\qquad h(0)=0,\\ h'(0)=0.
  • Para t>0 (fora do ponto da delta) a equação homogênea vale: h''+4h=0. A solução geral é
h(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),\quad t>0.
  • As condições iniciais para h são h(0)=0 e existe uma descontinuidade na derivada devido ao \delta. Para achar o salto em h' integremos a equação em torno de 0: \displaystyle\int_{- \varepsilon}^{\varepsilon} (h''+4h)\,dt = \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(t)\,dt=1. Ao deixar \varepsilon\to0 o termo \int 4h\,dt tende a zero (pois h é finita), então obtemos
h'(0^+)-h'(0^-)=1.
Como assumimos condições causais (sistema em repouso antes de t=0), temos h(t)=0 para t<0, logo h'(0^-)=0. Também h(0)=0. Portanto h'(0^+)=1.
  • Usando h(0)=0 na forma A\cos0+B\sin0=A=0, logo A=0. Assim h(t)=B\sin(2t). Derivando e impondo h'(0^+)=1 h'(t)=2B\cos(2t) e h'(0)=2B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{2}.
  • Conclusão:
\boxed{h(t)=\tfrac{1}{2}\sin(2t)\quad\text{para }t\ge0.}

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da convolução com a nossa f(t):
y(t)=\int_{0}^{t} h(t-s)\,f(s)\,ds =\int_{0}^{t} \tfrac{1}{2}\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,f(s)\,ds.
Observação prática: f(s)=2 apenas quando s\in[\pi,3\pi); fora disso f(s)=0. Assim o intervalo de integração efetivo é a interseção [0,t]\cap[\pi,3\pi). Portanto
y(t)=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{\pi}^{\min(t,\,3\pi)} \sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,ds =\int_{\pi}^{\min(t,\,3\pi)} \sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,ds.
Isso já simplifica muito: agora só precisamos avaliar essa integral dependendo da posição de t relativa a \pi e 3\pi. Vamos tratar os três intervalos.

Passo 5

Caso 1: 0\le t<\pi.
  • Então \min(t,3\pi)=t e os limites de integração ficam de \pi até t, mas como t<\pi o intervalo é vazio. Portanto a integral é zero e
\boxed{y(t)=0\quad\text{para }0\le t<\pi.}

Passo 6

Caso 2: \pi\le t<3\pi.
  • Aqui \min(t,3\pi)=t, logo
y(t)=\int_{\pi}^{t}\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,ds.
Vamos calcular essa integral com cuidado, passo a passo. Faça a substituição u=2(t-s). Então du=-2\,ds e quando s=\pi temos u=2(t-\pi), quando s=t temos u=0. Assim
y(t)=\int_{s=\pi}^{s=t}\sin(2(t-s))\,ds =\frac{1}{2}\int_{u=2(t-\pi)}^{0}\sin u\,(-du) =\frac{1}{2}\int_{0}^{2(t-\pi)}\sin u\,du.
Integrando \sin u obtemos -\cos u, portanto
y(t)=\frac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{2(t-\pi)} =\frac{1}{2}\bigl(1-\cos\bigl(2(t-\pi)\bigr)\bigr).
Podemos simplificar o argumento do cosseno usando que \cos(2(t-\pi))=\cos(2t-2\pi)=\cos(2t) (porque \cos tem período 2\pi). Assim
\boxed{y(t)=\frac{1}{2}\bigl(1-\cos(2t)\bigr)\quad\text{para }\pi\le t<3\pi.}

Passo 7

Caso 3: t\ge 3\pi.
  • Agora \min(t,3\pi)=3\pi, então
y(t)=\int_{\pi}^{3\pi}\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,ds.
Calcule de novo com a primitiva direta: uma primitiva em s é -\tfrac{1}{2}\cos(2(t-s)). Assim
y(t)=\Bigl[-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(2(t-s)\bigr)\Bigr]_{s=\pi}^{s=3\pi} =-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(2(t-3\pi)\bigr)+\tfrac{1}{2}\cos\bigl(2(t-\pi)\bigr).
Use periodicidade do cosseno: \cos(2(t-3\pi))=\cos(2t-6\pi)=\cos(2t) e \cos(2(t-\pi))=\cos(2t-2\pi)=\cos(2t). Assim os dois termos se cancelam:
y(t)=-\tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{1}{2}\cos(2t)=0.
Portanto
\boxed{y(t)=0\quad\text{para }t\ge 3\pi.}

Resposta

y(t)=0 para 0\le t<\pi
y(t)=\dfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2t)\bigr) para \pi\le t<3\pi
y(t)=0 para t\ge 3\pi

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