Resolva os seguintes problemas de valor inicial: y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=-1 em que f(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1\end{array}\right.;
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado:
Pedem para resolver o problema de valor inicial (PVI)y'' + 4y = f(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=-1,em quef(t)=\begin{cases} 1, & 0\le t<1,\\[4pt] 0, & t\ge 1. \end{cases}
Precisamos encontrar y(t) para todo t\ge0. Como f é definida por partes, vamos resolver a EDO em cada intervalo onde f é contínua ([0,1) e [1,\infty)) e impor as condições de continuidade de y e y' em t=1.
Informações relevantes: coeficientes constantes, equação linear de segunda ordem; para t\in[0,1) a forçante é constante 1, para t\ge1 a forçante é 0.]
Passo 2
Resolver a equação em 0\le t<1 (onde f(t)=1):
Escrevemos a EDO para esse intervalo:y''+4y=1.
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:y_h''+4y_h=0.Característica: \;r^2+4=0\Rightarrow r=\pm 2i. Logo a solução homogênea éy_h(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),onde A,B são constantes a determinar.
Agora procuramos uma solução particular para o termo constante 1. Para uma forçante constante, tentamos uma solução particular constante y_p=C. Substituindo:0+4C=1\quad\Rightarrow\quad C=\tfrac{1}{4}.
Assim a solução geral em [0,1) éy(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)+\tfrac{1}{4}.
Aplicamos as condições iniciais em t=0. Primeiro y(0)=0:y(0)=A\cos0+B\sin0+\tfrac{1}{4}=A+\tfrac{1}{4}=0\quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{4}.
Calculamos y'(t) de forma detalhada. Derivando y(t):y'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)+0.Em t=0 temos y'(0)=-2A\cdot 0 + 2B\cdot1 = 2B. A condição y'(0)=-1 dá2B=-1\quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{2}.
Concluímos que, para 0\le t<1,y(t)=-\tfrac{1}{4}\cos(2t)-\tfrac{1}{2}\sin(2t)+\tfrac{1}{4}.
Passo 3
Calcular y(1) e y'(1) (valores de continuidade que serão usados como condições iniciais para o segmento t\ge1):
Usando a expressão encontrada para 0\le t<1, obtemos y(1):y(1)=-\tfrac{1}{4}\cos(2)-\tfrac{1}{2}\sin(2)+\tfrac{1}{4}.(Aqui peguei \cos(2) e \sin(2) diretamente da fórmula em t=1.)
Para y'(t) já tínhamos a expressão geral:y'(t)= (1/2)\sin(2t)-\cos(2t).(Explicação: substituí A=-\tfrac14 e B=-\tfrac12 na fórmula y'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t). Calculando: -2A\sin(2t)=-2(-\tfrac14)\sin(2t)=(1/2)\sin(2t) e 2B\cos(2t)=2(-\tfrac12)\cos(2t)=-\cos(2t).)
Então em t=1 obtemosy'(1)=\tfrac{1}{2}\sin(2)-\cos(2).
Passo 4
Resolver a equação em t\ge1 (onde f(t)=0) usando as condições em t=1:
Para t\ge1 a EDO é homogênea:y''+4y=0.Sua solução geral é novamentey(t)=C\cos(2t)+D\sin(2t).
Em vez de resolver para C,D diretamente, é conveniente usar a formulação com condições em t=1: escrevemos a solução como combinação de funções deslocadas:y(t)=\alpha\cos\big(2(t-1)\big)+\beta\sin\big(2(t-1)\big),porque em t=1 essa forma dá y(1)=\alpha e y'(1)=2\beta (veja abaixo).
Verificação rápida: derivando a expressão deslocada,y'(t)=-2\alpha\sin\big(2(t-1)\big)+2\beta\cos\big(2(t-1)\big),logo em t=1 temos y'(1)=2\beta.
Portanto as constantes são\alpha=y(1)=-\tfrac{1}{4}\cos(2)-\tfrac{1}{2}\sin(2)+\tfrac{1}{4},
Concluímos que, para t\ge1,y(t)=\Big(-\tfrac{1}{4}\cos(2)-\tfrac{1}{2}\sin(2)+\tfrac{1}{4}\Big)\cos\big(2(t-1)\big) +\Big(\tfrac{1}{4}\sin(2)-\tfrac{1}{2}\cos(2)\Big)\sin\big(2(t-1)\big).
Observação pedagógica: a continuidade de y e y' em t=1 é exigida porque a equação é de segunda ordem com forçante que é apenas descontínua em derivada (mas f tem salto finito); soluções de EDO com coeficientes contínuos e termos de forçante integráveis têm y e y' contínuas. Assim casar as condições em t=1 foi correto.
Passo 5
Resumo final e forma limpa da solução por partes (repito para ficar bem claro como levar isso pra prova):
Para 0\le t<1:y(t)=-\tfrac{1}{4}\cos(2t)-\tfrac{1}{2}\sin(2t)+\tfrac{1}{4}.
Para t\ge1:y(t)=\Big(-\tfrac{1}{4}\cos(2)-\tfrac{1}{2}\sin(2)+\tfrac{1}{4}\Big)\cos\big(2(t-1)\big) +\Big(\tfrac{1}{4}\sin(2)-\tfrac{1}{2}\cos(2)\Big)\sin\big(2(t-1)\big).