Esses são todos os pedidos; a partir do próximo passo começamos as demonstrações detalhadas.
Passo 2
Demonstração de (a): vamos provar a recorrência \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) usando integração por partes. Primeiro escrevo a quantidade que quero manipular em forma de integral:
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} t^{p}e^{-t}\,dt.
Lembrete (fórmula de integração por partes): para funções diferenciáveis u(t) e v(t),
\int u\,dv = uv \Big|_{0}^{\infty} - \int v\,du.
Escolho as funções para aplicar a fórmula de maneira conveniente: u(t)=t^{p} e dv=e^{-t}dt. Então calculo du e v:
Agora preciso justificar o termo de fronteira \Bigl[-t^{p}e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty}. Vou avaliar os limites:
Quando t\to\infty: o termo t^{p}e^{-t}\to 0 porque a exponencial decresce muito mais rápido que qualquer potência cresce. (Se quiser, pode ver isso usando, por exemplo, L’Hôpital sobre \lim_{t\to\infty} t^{p}e^{-t} = \lim_{t\to\infty} \dfrac{t^{p}}{e^{t}} = 0.)
Quando t\to 0^{+}: t^{p}e^{-t}\to 0 pois t^{p}\to 0 para p>0 e e^{-t}\to1.
Portanto o termo de fronteira é zero e resta:
\Gamma(p+1)= p \int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}\,dt = p\,\Gamma(p).
Isso é exatamente a relação desejada.
Passo 3
Observações didáticas sobre a recorrência: a relação \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) é extremamente útil — ela diz que a função Gama “shiftada” por 1 se relaciona com a função sem shift multiplicada por p. Em particular, isso é a versão contínua da propriedade n! = n\cdot(n-1)! do fatorial. Agora vamos aplicar essa recorrência para argumentos inteiros.
Passo 4
Demonstração de (b): relação com fatoriais (caso inteiro). Primeiro calculo a base da indução:
Como 0!=1, temos \Gamma(1)=0!. Agora uso a relação de recorrência provada no Passo 2. Para n\in\mathbb{N} (tomando n\ge 1) aplico a recorrência repetidamente:
\Gamma(2)=1\cdot\Gamma(1)=1\cdot 1 = 1 = 1!,
\Gamma(3)=2\cdot\Gamma(2)=2\cdot 1 = 2 = 2!,
e, em geral, supondo que \Gamma(k)= (k-1)! para algum k\ge1, então
Faço uma substituição de variável para reduzir essa integral à forma da definição da Gama. Seja u = s t. Então t = u/s e dt = du/s. Quando t vai de 0 a \infty, u também vai de 0 a \infty. Substituindo: