(Função Gama) A função Gama é definida pela integral imprópria
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} t^{p-1} e^{-t} d t, \text { para } p>0
a) Mostre que \Gamma(p+1)=p \Gamma(p), para p>0;
b) Mostre que \Gamma(n)=n ! para n \subset \mathbb{N};
c) Seja p>-1. Mostre que
\mathcal{L}\left(t^{p}\right)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, \quad s>0

Passo 1

O enunciado dá a definição da função Gama e faz três pedidos. Texto e dados importantes:
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}\,dt,\qquad p>0.
Perguntas a responder:
  • (a) Mostrar que \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) para \,p>0.
  • (b) Mostrar a relação entre \Gamma e o fatorial para inteiros naturais (ou seja, o que acontece quando o argumento é inteiro).
  • (c) Para p>-1, mostrar que a transformada de Laplace de t^{p} é
\mathcal{L}\bigl(t^{p}\bigr)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\qquad s>0.
Esses são todos os pedidos; a partir do próximo passo começamos as demonstrações detalhadas.

Passo 2

Demonstração de (a): vamos provar a recorrência \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) usando integração por partes. Primeiro escrevo a quantidade que quero manipular em forma de integral:
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} t^{p}e^{-t}\,dt.
Lembrete (fórmula de integração por partes): para funções diferenciáveis u(t) e v(t),
\int u\,dv = uv \Big|_{0}^{\infty} - \int v\,du.
Escolho as funções para aplicar a fórmula de maneira conveniente: u(t)=t^{p} e dv=e^{-t}dt. Então calculo du e v:
du = p\,t^{p-1}\,dt,\qquad v = -e^{-t}.
Aplicando integração por partes:
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} t^{p}e^{-t}\,dt = \Bigl[-t^{p}e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} p\,t^{p-1}e^{-t}\,dt.
Agora preciso justificar o termo de fronteira \Bigl[-t^{p}e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty}. Vou avaliar os limites:
  • Quando t\to\infty: o termo t^{p}e^{-t}\to 0 porque a exponencial decresce muito mais rápido que qualquer potência cresce. (Se quiser, pode ver isso usando, por exemplo, L’Hôpital sobre \lim_{t\to\infty} t^{p}e^{-t} = \lim_{t\to\infty} \dfrac{t^{p}}{e^{t}} = 0.)
  • Quando t\to 0^{+}: t^{p}e^{-t}\to 0 pois t^{p}\to 0 para p>0 e e^{-t}\to1.
    Portanto o termo de fronteira é zero e resta:
\Gamma(p+1)= p \int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}\,dt = p\,\Gamma(p).
Isso é exatamente a relação desejada.

Passo 3

Observações didáticas sobre a recorrência: a relação \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) é extremamente útil — ela diz que a função Gama “shiftada” por 1 se relaciona com a função sem shift multiplicada por p. Em particular, isso é a versão contínua da propriedade n! = n\cdot(n-1)! do fatorial. Agora vamos aplicar essa recorrência para argumentos inteiros.

Passo 4

Demonstração de (b): relação com fatoriais (caso inteiro). Primeiro calculo a base da indução:
\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty} t^{0}e^{-t}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = \Bigl[-e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty} = 1.
Como 0!=1, temos \Gamma(1)=0!. Agora uso a relação de recorrência provada no Passo 2. Para n\in\mathbb{N} (tomando n\ge 1) aplico a recorrência repetidamente:
\Gamma(2)=1\cdot\Gamma(1)=1\cdot 1 = 1 = 1!,
\Gamma(3)=2\cdot\Gamma(2)=2\cdot 1 = 2 = 2!,
e, em geral, supondo que \Gamma(k)= (k-1)! para algum k\ge1, então
\Gamma(k+1)=k\cdot\Gamma(k)=k\cdot (k-1)! = k!.
Por indução segue que, para todo inteiro n\ge1,
\Gamma(n)=(n-1)!\quad\text{ou, equivalentemente}\quad \Gamma(n+1)=n!.
Assim fica claro o vínculo entre \Gamma e o fatorial: a função Gama generaliza o fatorial para argumentos não inteiros.

Passo 5

Demonstração de (c): transformada de Laplace de t^{p} com p>-1. Definição (lembrete): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
quando a integral converge. Aqui queremos calcular
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}t^{p}\,dt,\qquad s>0.
Faço uma substituição de variável para reduzir essa integral à forma da definição da Gama. Seja u = s t. Então t = u/s e dt = du/s. Quando t vai de 0 a \infty, u também vai de 0 a \infty. Substituindo:
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-u}\Bigl(\frac{u}{s}\Bigr)^{p}\frac{du}{s} = s^{-p-1}\int_{0}^{\infty} u^{p}e^{-u}\,du.
Agora reconheço a integral como a definição de \Gamma(p+1), pois
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} u^{p}e^{-u}\,du,
válida para p>-1 (a condição p>-1 garante que a integral é integrável perto de 0 e que a substituição é legítima). Assim obtenho
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)= s^{-p-1}\,\Gamma(p+1)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\qquad s>0.
Como verificação rápida: para p=1 temos \Gamma(2)=1!\,=1 e a fórmula dá \mathcal{L}\{t\}(s)=1/s^{2}, que é o resultado conhecido.

Resposta

(a) \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p), para p>0.\n(b) \Gamma(n)=(n-1)! para n\in\mathbb{N} (equivalentemente \Gamma(n+1)=n!).\n(c) \mathcal{L}\bigl(t^{p}\bigr)(s)=\dfrac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\quad s>0 (para p>-1).

Exercícios relacionados