Resolva os problemas de valor inicial: y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=f(t) ; \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, em que f(t)=\left\{\begin{array}{l}e^{2 t}, \quad \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 0, \quad \text { se } \quad t \geq 1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y''-2y'+y=f(t),\qquad y(0)=0,\;y'(0)=0,
onde f(t)\) é dada por
\[f(t)=\begin{cases} e^{2t}, & 0\le t<1,\\[4pt] 0, & t\ge 1. \end{cases}
Informações importantes que temos:
Equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Forçamento f(t) é uma exponencial que existe só até t=1 e depois é zero (função em pedaços).
O objetivo é encontrar y(t) para todo t\ge 0.]
Passo 2
Estratégia escolhida: usar a transformada de Laplace. Justificativa curta e útil: a transformada lida muito bem com condições iniciais e com termos multiplicados pela função degrau (o que aparece quando representamos funções em pedaços). Vou lembrar as fórmulas fundamentais que vou usar (explicando cada uma):
Definição da transformada de Laplace: para uma função h(t) (adequada),
Para aplicar o teorema do deslocamento de forma imediata escrevo e^{2t}u(t-1)=e^{2}\,e^{2(t-1)}u(t-1), pois e^{2t}=e^{2}e^{2(t-1)}.
Passo 3
Faço a transformada de Laplace da equação inteira. Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados e usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais y(0)=y'(0)=0, obtenho:
É interessante checar continuidade em t=1: de t\to1^{-} vem y(1^-)=e^{2}-2e; de t\to1^{+} vem y(1^+)=e\bigl(1(e-1)-1\bigr)=e(e-2)=e^{2}-2e. Está contínua como esperado.