Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com forçamento por uma função por partes. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que é pedido.
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
- Força excitadora
- O que o problema pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais, isto é, obter
explicitamente (em peças, se necessário) para todo .]
Passo 2
Vamos escrever
usando a função degrau de Heaviside
(também chamada
), porque isso facilita aplicar transformadas integrais. A função
vale
para
e
para
.
Note que
para
e
para
. Isso equivale a
Essa forma é conveniente porque a transformada de Laplace de
e de termos deslocados é bem conhecida.
Agora vou obter a transformada de Laplace
. Usei a identidade
e a propriedade de deslocamento temporal: para
mas é mais prático usar a decomposição
e as fórmulas básicas:
Assim,
Como
, então
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace à equação diferencial. Recordando as fórmulas (usei-as com as condições iniciais dadas):
Como
e
, essas fórmulas reduzem-se a
e
.
Aplicando a Laplace em toda a equação:
Fatorando
:
Como
, temos
Substituindo
obtido no passo anterior:
Vou tratar as duas parcelas separadamente, porque a parcela com
corresponderá a um termo com degrau deslocado no domínio do tempo.
Passo 4
Defino duas funções-racional em
(sem o fator de atraso) para inverter com a transformada inversa:
Repare que a segunda parcela de
pode ser escrita como
, pois
Portanto
Isso significa, pela propriedade de deslocamento-temporal da transformada inversa, que
onde
e
, com
. Agora vou calcular
e
por decomposição em frações parciais e depois montar
.
Passo 5
Calcular
com frações parciais:
Multiplicando por
dá
Determino coeficientes avaliando em pontos adequados:
- Em
: ⇒ - Em
: ⇒ - Em
: ⇒
Para achar
, uso por exemplo
:
Substituindo
,
,
:
portanto
e
Logo a decomposição é
Invertendo termo a termo (lembre:
,
,
):
Passo 6
Agora faço
. Faço frações parciais:
Multiplicando:
Avaliando:
-
: ⇒ -
: ⇒ -
: ⇒
Portanto
Invertendo:
Agora
. Calculando explicitamente:
Agrupando termos constantes, lineares e exponenciais:
- Constante:
- Linear:
. -
: , então . -
: , então .
Logo
Passo 7
Recordando a forma de
, a transformada inversa deu
Isto se traduz em solução por partes:
- Para
, , logo
- Para
, , logo
Substituo as expressões e simplifico. Primeiro escrevo
:
Agora faço
. Ao subtrair, os termos lineares em
cancelam e as constantes também (ver conta abaixo):
- Soma das constantes:
(pois ). - Assim sobra apenas combinações de exponenciais:
É útil (às vezes) reescrever termos com
em função de
:
e
. Assim, alternativamente,
Ambas as formas são equivalentes; a forma com
deixa explícita a origem do termo deslocado (por causa do corte em
).