Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação diferencial de segunda ordem não homogênea. Vou listar exatamente o que temos e o que é pedido, sem resolver ainda.
- Equação diferencial:
- Função forçante (peguei do enunciado):
- Condições iniciais (em
, também do enunciado):
O que o problema pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais para todo
. Como
é por partes (muda em
), a solução será naturalmente por partes: uma expressão para
e outra para
. Vou garantir que
e
sejam contínuas em
(isso é obrigatório para soluções de equações lineares com forçantes do tipo degrau).]
Passo 2
Resolver a equação para
(onde
). Aqui a equação é homogênea:
A solução geral da homogênea é bem conhecida (vou explicar por que): a equação característica é
, com raízes
. Isso gera soluções trigonométricas. Assim a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Agora aplico as condições iniciais em
:
Como
, temos
.
A derivada é
Em
isso vira
. Como
, segue
.
Portanto, para
,
Dica rápida para prova: sempre que a RHS for zero, pega-se a solução homogênea; as constantes saem das condições iniciais em
. Aqui deu
, fácil de lembrar.
Passo 3
Resolver a equação para
(onde
). Agora a equação é não homogênea com RHS constante:
Para resolver, uso a forma geral: solução = solução geral da homogênea + uma particular. Já sabemos a homogênea:
com novas constantes
(diferentes de
anteriores).
Procuramos uma solução particular para o problema com RHS
. Como o lado direito é constante, tento uma particular constante
(isso é padrão: para RHS polinomial constante, tenta-se polinômio de mesmo grau). Substituindo em
:
Logo uma particular válida é
.
Assim a solução geral para
é
Agora preciso determinar
e
. Como a equação é linear e a forçante tem um salto em
, a solução
e sua derivada
devem ser contínuas em
. Vou usar os valores de
e
imediatamente à esquerda de
que já conheço (da solução anterior) como “condições iniciais” para a segunda parte.
Passo 4
Calcular as condições em
vindas da parte anterior (peguei estes valores da expressão
obtida no Passo 2):
- Valor da função à esquerda:
- Valor da derivada à esquerda (derivada de
é ):
Agora imponho continuidade em
: os valores à direita (dados pela expressão
) devem coincidir com os valores acima.
Escrevo essas igualdades:
- Continuidade de
em :
Como
e
, isso vira
- Continuidade de
em . Diferencio :
Em
:
Isso deve ser igual a
. Assim
Portanto
e
.
Passo 5
Escrevo a solução final por partes, juntando tudo que já calculei:
- Para
:
- Para
:
Vou fazer uma checagem rápida de continuidade (para ficar tranquilo): em
,
e a derivada da segunda expressão em
é
, coincidente com os valores da esquerda. Então está tudo consistente.
Observação pedagógica: outra forma elegante de escrever a solução é usar a função degrau unitário
ou
e aplicar o princípio da superposição / convolução com a resposta do sistema
, mas a abordagem por partes com continuidade é mais direta em prova e mais simples de executar à mão — por isso escolhi ela.