Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y=f(t) ; \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\), em que \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq t<3 \pi \\\\ 1, & \text { se } t \geq 3 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação diferencial de segunda ordem não homogênea. Vou listar exatamente o que temos e o que é pedido, sem resolver ainda.
  • Equação diferencial:
y''+y=f(t).
  • Função forçante (peguei do enunciado):
f(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<3\pi,\\[4pt] 1, & t\ge 3\pi. \end{cases}
  • Condições iniciais (em t=0, também do enunciado):
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
O que o problema pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais para todo t\ge0. Como f(t) é por partes (muda em t=3\pi), a solução será naturalmente por partes: uma expressão para 0\le t<3\pi e outra para t\ge3\pi. Vou garantir que y e y' sejam contínuas em t=3\pi (isso é obrigatório para soluções de equações lineares com forçantes do tipo degrau).]

Passo 2

Resolver a equação para 0\le t<3\pi (onde f(t)=0). Aqui a equação é homogênea:
y''+y=0.
A solução geral da homogênea é bem conhecida (vou explicar por que): a equação característica é r^2+1=0, com raízes r=\pm i. Isso gera soluções trigonométricas. Assim a solução geral é
y_h(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Agora aplico as condições iniciais em t=0:
y(0)=A\cos 0 + B\sin 0 = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Como y(0)=0, temos A=0.
A derivada é
y'(t)=-A\sin t + B\cos t.
Em t=0 isso vira y'(0)=B. Como y'(0)=1, segue B=1.
Portanto, para 0\le t<3\pi,
y(t)=\sin t.
Dica rápida para prova: sempre que a RHS for zero, pega-se a solução homogênea; as constantes saem das condições iniciais em t=0. Aqui deu y=\sin t, fácil de lembrar.

Passo 3

Resolver a equação para t\ge3\pi (onde f(t)=1). Agora a equação é não homogênea com RHS constante:
y''+y=1.
Para resolver, uso a forma geral: solução = solução geral da homogênea + uma particular. Já sabemos a homogênea:
y_h(t)=C\cos t + D\sin t,
com novas constantes C,D (diferentes de A,B anteriores).
Procuramos uma solução particular para o problema com RHS 1. Como o lado direito é constante, tento uma particular constante y_p(t)=K (isso é padrão: para RHS polinomial constante, tenta-se polinômio de mesmo grau). Substituindo em y''+y=1:
0 + K = 1 \quad\Rightarrow\quad K=1.
Logo uma particular válida é y_p(t)=1.
Assim a solução geral para t\ge3\pi é
y(t)=C\cos t + D\sin t + 1.
Agora preciso determinar C e D. Como a equação é linear e a forçante tem um salto em 3\pi, a solução y e sua derivada y' devem ser contínuas em t=3\pi. Vou usar os valores de y e y' imediatamente à esquerda de 3\pi que já conheço (da solução anterior) como “condições iniciais” para a segunda parte.

Passo 4

Calcular as condições em t=3\pi vindas da parte anterior (peguei estes valores da expressão y(t)=\sin t obtida no Passo 2):
  • Valor da função à esquerda:
y(3\pi^-)=\sin(3\pi)=0.
  • Valor da derivada à esquerda (derivada de \sin t é \cos t):
y'(3\pi^-)=\cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos\pi=-1.
Agora imponho continuidade em t=3\pi: os valores à direita (dados pela expressão C\cos t + D\sin t + 1) devem coincidir com os valores acima.
Escrevo essas igualdades:
  1. Continuidade de y em t=3\pi:
y(3\pi^+)=C\cos(3\pi)+D\sin(3\pi)+1 = y(3\pi^-)=0.
Como \sin(3\pi)=0 e \cos(3\pi)=-1, isso vira
-C + 0 + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad C=1.
  1. Continuidade de y' em t=3\pi. Diferencio y(t)=C\cos t + D\sin t +1:
y'(t) = -C\sin t + D\cos t.
Em t=3\pi:
y'(3\pi^+) = -C\sin(3\pi) + D\cos(3\pi) = 0 + D(-1) = -D.
Isso deve ser igual a y'(3\pi^-)=-1. Assim
-D = -1 \quad\Rightarrow\quad D=1.
Portanto C=1 e D=1.

Passo 5

Escrevo a solução final por partes, juntando tudo que já calculei:
  • Para 0\le t<3\pi:
y(t)=\sin t.
  • Para t\ge 3\pi:
y(t)=\cos t + \sin t + 1.
Vou fazer uma checagem rápida de continuidade (para ficar tranquilo): em t=3\pi,
\cos(3\pi)+\sin(3\pi)+1 = -1 + 0 + 1 = 0,
e a derivada da segunda expressão em 3\pi é -\sin(3\pi)+\cos(3\pi)=0-1=-1, coincidente com os valores da esquerda. Então está tudo consistente.
Observação pedagógica: outra forma elegante de escrever a solução é usar a função degrau unitário \mathbf{1}_{[3\pi,\infty)}(t) ou H(t-3\pi) e aplicar o princípio da superposição / convolução com a resposta do sistema y''+y, mas a abordagem por partes com continuidade é mais direta em prova e mais simples de executar à mão — por isso escolhi ela.

Resposta

y(t)=\begin{cases} \sin t, & 0\le t<3\pi,\\[4pt] \cos t+\sin t+1, & t\ge 3\pi. \end{cases}]

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