Resolva os Problemas de Valor Inicial (PVI): u^{\prime \prime}+2 u^{\prime}+u=0 ; u(0)=4 ; u^{\prime}(0)=-6.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
u''+2u'+u=0,\qquad u(0)=4,\qquad u'(0)=-6.
O que pede: encontrar a função u(t) que satisfaz a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais em t=0.
Informações relevantes:
É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Foram dadas duas condições iniciais: u(0)=4 e u'(0)=-6. Estas servirão para determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
Método de resolução (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, buscamos soluções da forma u(t)=e^{rt}. A razão é que derivadas de e^{rt} são múltiplos de e^{rt}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica (mais fácil).
Como e^{rt}\neq 0, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica (polinomial):
r^2+2r+1=0.
Passo 3
Resolver a equação característica: calcular raízes de
r^2+2r+1=0.
Este polinômio é um quadrado perfeito, pois (r+1)^2=r^2+2r+1. Portanto há uma raiz dupla:
r=-1\quad\text{(multiplicidade 2)}.
Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções independentes são e^{rt} e t e^{rt}. Assim a solução geral do PVI é
u(t) = \big(C_1 + C_2 t\big)e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Comentário rápido (por que aparece o t): a segunda solução independente precisa ser linearmente independente de e^{rt}; multiplicar por t é a maneira padrão (vem da teoria de equações lineares com raízes múltiplas).
Passo 4
Calcular a derivada geral u'(t) para aplicar a condição inicial u'(0)=-6. Usamos a regra do produto: