Resolva os Problemas de Valor Inicial (PVI):
u^{\prime \prime}+2 u^{\prime}+u=0 ; u(0)=4 ; u^{\prime}(0)=-6.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
u''+2u'+u=0,\qquad u(0)=4,\qquad u'(0)=-6.
O que pede: encontrar a função u(t) que satisfaz a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais em t=0.
Informações relevantes:
  • É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Foram dadas duas condições iniciais: u(0)=4 e u'(0)=-6. Estas servirão para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Método de resolução (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, buscamos soluções da forma u(t)=e^{rt}. A razão é que derivadas de e^{rt} são múltiplos de e^{rt}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica (mais fácil).
Assumindo u(t)=e^{rt}, substituímos na equação:
u''+2u'+u=0 \quad\Rightarrow\quad r^2 e^{rt} + 2r e^{rt} + 1\cdot e^{rt}=0.
Como e^{rt}\neq 0, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica (polinomial):
r^2+2r+1=0.

Passo 3

Resolver a equação característica: calcular raízes de
r^2+2r+1=0.
Este polinômio é um quadrado perfeito, pois (r+1)^2=r^2+2r+1. Portanto há uma raiz dupla:
r=-1\quad\text{(multiplicidade 2)}.
Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções independentes são e^{rt} e t e^{rt}. Assim a solução geral do PVI é
u(t) = \big(C_1 + C_2 t\big)e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Comentário rápido (por que aparece o t): a segunda solução independente precisa ser linearmente independente de e^{rt}; multiplicar por t é a maneira padrão (vem da teoria de equações lineares com raízes múltiplas).

Passo 4

Calcular a derivada geral u'(t) para aplicar a condição inicial u'(0)=-6. Usamos a regra do produto:
u(t)=\big(C_1 + C_2 t\big)e^{-t}.
Derivando,
u'(t)=\underbrace{C_2}_{(C_1+C_2 t)'} e^{-t} + \big(C_1 + C_2 t\big)\underbrace{(-e^{-t})}_{(e^{-t})'}.
Colocando em forma combinada:
u'(t)=\big(C_2 - (C_1 + C_2 t)\big)e^{-t}.
Para simplificar mentalmente, pode reescrever como
u'(t)=(C_2 - C_1 - C_2 t)e^{-t}.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Usando u(0)=4:
u(0)=\big(C_1 + C_2\cdot 0\big)e^{0}=C_1=4.
Usando u'(0)=-6:
u'(0)=\big(C_2 - C_1 - C_2\cdot 0\big)e^{0}=C_2 - C_1=-6.
Substituindo C_1=4:
C_2 - 4 = -6 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -6+4 = -2.

Passo 6

Montar a solução final substituindo os valores de C_1 e C_2:
u(t)=\big(4 - 2t\big)e^{-t}.
Verificação rápida (útil em prova): calcular u'(t) com esses C_1,C_2:
u'(t)=\big(-2 - (4-2t)\big)e^{-t}=(-6+2t)e^{-t},
logo u'(0)=-6, consistente com a condição inicial.

Resposta

u(t)=\big(4-2t\big)e^{-t}

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