Ache a EDO
que possui as seguites soluções:
Passo 1
O que o problema dá e o que pede:
- É dada a forma da equação diferencial com coeficientes constantes
, onde e são constantes desconhecidas. - O enunciado informa que duas soluções da EDO são
e . - O que se pede: determinar os valores de
e e, portanto, escrever explicitamente a EDO que admite essas soluções.
Passo 2
Ideia-chave (como proceder num exame): para EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, tenta-se uma solução da forma
. Vou mostrar por que isso funciona:
- Se
, então e . - Substituindo na EDO
obtemos
- Como
nunca é zero, podemos dividir por e obter a equação algébrica (a chamada equação característica)
- Ou seja: cada exponencial
fornece uma raiz da equação característica. Portanto, se e são soluções, então e são raízes da característica.
Passo 3
Relacionando raízes e coeficientes (Vieta): se as raízes da equação
são
e
, então podemos fatorar
Comparando termos, obtemos as relações de Viète:
Passo 4
Aplicando as relações ao caso dado:
- Aqui
e . - Soma das raízes:
. Portanto
- Produto das raízes:
. Portanto
Passo 5
Escrevendo a equação final e verificando rapidamente:
- Substituindo
e na forma obtemos
- Verificação rápida (útil na prova): para
temos . Para temos . Ambas satisfazem a EDO.
Passo 6
Observação final prática (como usar o raciocínio rapidamente na prova):
- Se dois exponenciais
e aparecem como soluções de uma EDO linear com coeficientes constantes, basta tomar e para escrever a EDO. - A solução geral da EDO encontrada (útil para checar) é
com
constantes arbitrárias.