Ache a EDO y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0 que possui as seguites soluções:
{\exp (2 x), \exp (x)}

Passo 1

O que o problema dá e o que pede:
  • É dada a forma da equação diferencial com coeficientes constantes \;y'' + a\,y' + b\,y = 0\;, onde a e b são constantes desconhecidas.
  • O enunciado informa que duas soluções da EDO são \exp(2x) e \exp(x).
  • O que se pede: determinar os valores de a e b e, portanto, escrever explicitamente a EDO que admite essas soluções.

Passo 2

Ideia-chave (como proceder num exame): para EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, tenta-se uma solução da forma \;y=e^{r x}\;. Vou mostrar por que isso funciona:
  • Se \;y=e^{r x}\;, então \;y' = r e^{r x}\; e \;y'' = r^{2} e^{r x}\;.
  • Substituindo na EDO \;y'' + a y' + b y = 0\; obtemos
r^{2} e^{r x} + a\,r e^{r x} + b\, e^{r x} = 0.
  • Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação algébrica (a chamada equação característica)
r^{2} + a r + b = 0.
  • Ou seja: cada exponencial \;e^{r x}\; fornece uma raiz r da equação característica. Portanto, se \exp(2x) e \exp(x) são soluções, então r=2 e r=1 são raízes da característica.

Passo 3

Relacionando raízes e coeficientes (Vieta): se as raízes da equação
r^{2} + a r + b = 0
são \;r_{1} e \;r_{2}, então podemos fatorar
r^{2} + a r + b = (r - r_{1})(r - r_{2}) = r^{2} - (r_{1}+r_{2})r + r_{1}r_{2}.
Comparando termos, obtemos as relações de Viète:
a = -(r_{1}+r_{2}),\qquad b = r_{1}r_{2}.

Passo 4

Aplicando as relações ao caso dado:
  • Aqui \;r_{1}=2\; e \;r_{2}=1.
  • Soma das raízes: \;r_{1}+r_{2}=2+1=3\;. Portanto
a = -(r_{1}+r_{2}) = -3.
  • Produto das raízes: \;r_{1}r_{2}=2\cdot1=2\;. Portanto
b = 2.

Passo 5

Escrevendo a equação final e verificando rapidamente:
  • Substituindo a=-3 e b=2 na forma \;y''+a y'+b y=0\; obtemos
y'' - 3 y' + 2 y = 0.
  • Verificação rápida (útil na prova): para y=e^{2x} temos y''-3y'+2y = (4 - 3\cdot2 + 2)\,e^{2x} = (4-6+2)\,e^{2x}=0. Para y=e^{x} temos y''-3y'+2y = (1 - 3\cdot1 + 2)\,e^{x}=(1-3+2)\,e^{x}=0. Ambas satisfazem a EDO.

Passo 6

Observação final prática (como usar o raciocínio rapidamente na prova):
  • Se dois exponenciais \;e^{r_{1}x} e \;e^{r_{2}x} aparecem como soluções de uma EDO linear com coeficientes constantes, basta tomar \;a=-(r_{1}+r_{2})\; e \;b=r_{1}r_{2}\; para escrever a EDO.
  • A solução geral da EDO encontrada (útil para checar) é
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y''-3y'+2y=0

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