Questão 1 ( 4 pontos). Considere a equação diferencial
onde
é uma constante. Determine
para que
para qualquer solução
da EDO.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
onde
é uma constante real. A pergunta é: determinar todos os valores de
tais que
para qualquer solução
dessa EDO.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear não homogênea com coeficiente constante na parte homogênea igual a
. - O termo forçante é
, que depende do parâmetro . - A condição pedida é que toda solução (isto é, para todo valor da constante de integração) tenda a zero quando
.
Passo 2
Primeiro encontre a solução geral da equação: escrevo a solução como soma da solução da homogênea mais uma particular. A equação homogênea associada é
Isto é uma equação separável simples; resolvendo:
Integralizando ambos os lados obtemos
, logo
onde
é uma constante arbitrária. Esta é a família de soluções homogêneas.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não homogênea. Um método sistemático e muito usado é o fator integrante. Multiplico a equação original pelo fator integrante
(porque a equação tem termo
):
O lado esquerdo é a derivada do produto
, então
Integro em
:
Passo 4
Há dois subcasos dependendo de
.
Caso 1:
(ou seja,
). A integral é
portanto
Dividindo por
obtemos a solução geral
Aqui
é a constante arbitrária da solução homogênea.
Passo 5
Caso 2:
(ou seja,
). Então a integral acima fica
logo
e dividindo por
obtemos
Nota: esta forma é consistente com o limite especial quando o denominador
se anula — é o caso ressonante onde a solução particular envolve um fator
.
Passo 6
Agora analiso o comportamento assintótico (
) das soluções para decidir quais valores de
dão
para qualquer constante
.
-
O termo
tende a zero quando para qualquer , porque decai exponencialmente. -
Para
a outra parte da solução é . O comportamento de quando depende de : - Se
, então e assim . - Se
, então , que não tende a zero. - Se
, então , logo a solução não tende a zero (diverge). - Se
esse subcaso foi tratado separadamente (ver abaixo).
- Se
-
Para
(caso ressonante), a solução geral é . Sabemos que quando (exponencial domina qualquer potência polinomial), portanto para qualquer .
Passo 7
Juntando as observações:
- Para
(incluindo ) tanto o termo da solução particular quanto o termo tendem a zero, então toda solução tende a zero. - Para
existe uma solução que tende a (não zero), portanto a propriedade pedida falha. - Para
a parte particular cresce exponencialmente e as soluções não tendem a zero.
Portanto a condição necessária e suficiente sobre
é que
.