Questão 1 ( 4 pontos). Considere a equação diferencial
y^{\prime}(t)+2 y(t)=e^{b t}
onde b é uma constante. Determine b para que \lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t)=0 para qualquer solução \varphi(t) da EDO.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
y'(t)+2y(t)=e^{b t},
onde b é uma constante real. A pergunta é: determinar todos os valores de b tais que
\lim_{t\to\infty}\varphi(t)=0
para qualquer solução \varphi(t) dessa EDO.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear não homogênea com coeficiente constante na parte homogênea igual a 2.
  • O termo forçante é e^{b t}, que depende do parâmetro b.
  • A condição pedida é que toda solução (isto é, para todo valor da constante de integração) tenda a zero quando t\to\infty.

Passo 2

Primeiro encontre a solução geral da equação: escrevo a solução como soma da solução da homogênea mais uma particular. A equação homogênea associada é
y'(t)+2y(t)=0.
Isto é uma equação separável simples; resolvendo:
\frac{dy}{dt}=-2y \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{y}=-2\,dt.
Integralizando ambos os lados obtemos \ln|y|=-2t+C, logo
y_h(t)=C e^{-2t},
onde C é uma constante arbitrária. Esta é a família de soluções homogêneas.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) da equação não homogênea. Um método sistemático e muito usado é o fator integrante. Multiplico a equação original pelo fator integrante e^{2t} (porque a equação tem termo 2y):
e^{2t}y'(t)+2e^{2t}y(t)=e^{2t}e^{b t}=e^{(b+2)t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{2t}y(t), então
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y(t)\bigr)=e^{(b+2)t}.
Integro em t:
e^{2t}y(t)=\int e^{(b+2)t}\,dt + C.

Passo 4

Há dois subcasos dependendo de b+2.
Caso 1: b+2\neq 0 (ou seja, b\neq -2). A integral é
\int e^{(b+2)t}\,dt=\frac{1}{b+2}e^{(b+2)t},
portanto
e^{2t}y(t)=\frac{1}{b+2}e^{(b+2)t}+C.
Dividindo por e^{2t} obtemos a solução geral
y(t)=\frac{e^{b t}}{b+2}+C e^{-2t}.
Aqui C é a constante arbitrária da solução homogênea.

Passo 5

Caso 2: b+2=0 (ou seja, b=-2). Então a integral acima fica
\int e^{0\cdot t}\,dt=\int 1\,dt=t,
logo
e^{2t}y(t)=t+C,
e dividindo por e^{2t} obtemos
y(t)=(t+C)e^{-2t}.
Nota: esta forma é consistente com o limite especial quando o denominador b+2 se anula — é o caso ressonante onde a solução particular envolve um fator t.

Passo 6

Agora analiso o comportamento assintótico ( t\to\infty) das soluções para decidir quais valores de b dão \lim_{t\to\infty}\varphi(t)=0 para qualquer constante C.
  • O termo C e^{-2t} tende a zero quando t\to\infty para qualquer C, porque e^{-2t} decai exponencialmente.
  • Para b\neq -2 a outra parte da solução é \dfrac{e^{b t}}{b+2}. O comportamento de \dfrac{e^{b t}}{b+2} quando t\to\infty depende de b:
    • Se b<0, então e^{b t}\to 0 e assim \dfrac{e^{b t}}{b+2}\to 0.
    • Se b=0, então \dfrac{e^{0\cdot t}}{b+2}=\dfrac{1}{2}, que não tende a zero.
    • Se b>0, então e^{b t}\to\infty, logo a solução não tende a zero (diverge).
    • Se b=-2 esse subcaso foi tratado separadamente (ver abaixo).
  • Para b=-2 (caso ressonante), a solução geral é (t+C)e^{-2t}. Sabemos que t e^{-2t}\to 0 quando t\to\infty (exponencial domina qualquer potência polinomial), portanto (t+C)e^{-2t}\to 0 para qualquer C.

Passo 7

Juntando as observações:
  • Para b<0 (incluindo b=-2) tanto o termo da solução particular quanto o termo C e^{-2t} tendem a zero, então toda solução tende a zero.
  • Para b=0 existe uma solução que tende a \tfrac{1}{2} (não zero), portanto a propriedade pedida falha.
  • Para b>0 a parte particular cresce exponencialmente e as soluções não tendem a zero.
Portanto a condição necessária e suficiente sobre b é que b<0.

Resposta

b<0

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