Resolva os problemas de valor inicial a seguir:
, com
.
Passo 1
O problema fornece a equação diferencial com condição inicial:
com a condição inicial
.
O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações explícitas do enunciado:
- A variável independente é
e a dependente é . - A derivada é
. - A condição inicial é
.
Passo 2
Vamos manipular a equação para colocá-la numa forma em que possamos separar as variáveis (colocar termos em
de um lado e termos em
do outro). Primeiro fatoramos
no primeiro fator da esquerda e agrupamos o lado direito:
No lado direito podemos fatorar
:
Portanto a equação fica
Agora escrevemos
e isolamos os termos em
e em
:
Multiplicando ambos os lados por
e por
(para separar variáveis), obtemos
Explico a ideia usada: separar variáveis significa escrever a equação na forma
. Aí integra-se cada lado em relação à sua variável.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Primeiro simplificamos as funções a integrar:
Integramos:
Calculando as integrais (explicando cada termo):
-
. -
. -
. -
. -
.
Assim, após integrar:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão integrada:
Como
, isso dá
logo
Passo 5
Substituindo
de volta, obtemos a solução implícita final:
Observações didáticas rápidas:
- A solução está dada de forma implícita porque extrair
explicitamente em termos de exigiria resolver uma equação envolvendo e , que não tem expressão elementar simples; a forma implícita é perfeitamente aceitável em um contexto de EDOs. - Como a condição inicial tem
e , perto de pode-se tirar os valores absolutos: e . A solução, contudo, está escrita de forma geral com módulos para indicar o domínio.