Resolva os problemas de valor inicial a seguir:
\left(t^{2} y-2 t^{2}\right) y^{\prime}=y-t^{2} y-t y, com y(1)=1.

Passo 1

O problema fornece a equação diferencial com condição inicial:
\left(t^{2}y-2t^{2}\right)y' = y - t^{2}y - t y,
com a condição inicial y(1)=1.
O que é pedido: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações explícitas do enunciado:
  • A variável independente é t e a dependente é y(t).
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dt}.
  • A condição inicial é y(1)=1.

Passo 2

Vamos manipular a equação para colocá-la numa forma em que possamos separar as variáveis (colocar termos em y de um lado e termos em t do outro). Primeiro fatoramos t^{2} no primeiro fator da esquerda e agrupamos o lado direito:
\left(t^{2}y-2t^{2}\right)y' = t^{2}(y-2)\,y'.
No lado direito podemos fatorar y:
y - t^{2}y - t y = y\,(1 - t - t^{2}).
Portanto a equação fica
t^{2}(y-2)\,y' = y\,(1 - t - t^{2}).
Agora escrevemos y'=\dfrac{dy}{dt} e isolamos os termos em y e em t:
\frac{dy}{dt} = \frac{y\,(1 - t - t^{2})}{t^{2}(y-2)}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{y-2}{y}\,dt e por dt (para separar variáveis), obtemos
\frac{y-2}{y}\,dy = \frac{1 - t - t^{2}}{t^{2}}\,dt.
Explico a ideia usada: separar variáveis significa escrever a equação na forma g(y)\,dy = h(t)\,dt. Aí integra-se cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Primeiro simplificamos as funções a integrar:
\frac{y-2}{y} = 1 - \frac{2}{y}, \qquad \frac{1 - t - t^{2}}{t^{2}} = t^{-2} - t^{-1} - 1.
Integramos:
\int\!\left(1 - \frac{2}{y}\right) dy = \int\!\left(t^{-2} - t^{-1} - 1\right) dt.
Calculando as integrais (explicando cada termo):
  • \int 1\,dy = y.
  • \int -\dfrac{2}{y}\,dy = -2\ln\!\left|y\right|.
  • \int t^{-2}\,dt = -\dfrac{1}{t}.
  • \int -t^{-1}\,dt = -\ln\!\left|t\right|.
  • \int -1\,dt = -t.
Assim, após integrar:
y - 2\ln\!\left|y\right| = -\frac{1}{t} - \ln\!\left|t\right| - t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituindo t=1 e y=1 na expressão integrada:
1 - 2\ln\!\left|1\right| = -\frac{1}{1} - \ln\!\left|1\right| - 1 + C.
Como \ln\!\left|1\right|=0, isso dá
1 = -1 - 1 + C \quad\Longrightarrow\quad 1 = -2 + C,
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C = 3.

Passo 5

Substituindo C=3 de volta, obtemos a solução implícita final:
y - 2\ln\!\left|y\right| = -\frac{1}{t} - \ln\!\left|t\right| - t + 3.
Observações didáticas rápidas:
  • A solução está dada de forma implícita porque extrair y explicitamente em termos de t exigiria resolver uma equação envolvendo y e \ln y, que não tem expressão elementar simples; a forma implícita é perfeitamente aceitável em um contexto de EDOs.
  • Como a condição inicial tem t=1>0 e y(1)=1>0, perto de t=1 pode-se tirar os valores absolutos: \ln\!\left|t\right|=\ln t e \ln\!\left|y\right|=\ln y. A solução, contudo, está escrita de forma geral com módulos para indicar o domínio.

Resposta

y - 2\ln\!\left|y\right| = -\dfrac{1}{t} - \ln\!\left|t\right| - t + 3

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