Resolva os problemas de valor inicial:
t y^{\prime}+(t+1) y=t ; \quad y(\ln 2)=1

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem
t\,y' + (t+1)\,y = t
com condição inicial y(\ln 2)=1.
O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Escrevemos em forma padrão dividindo por t (supondo t\neq0):
y' + \frac{t+1}{t}\,y = 1.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int\frac{t+1}{t}\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int\bigl(1+\tfrac1t\bigr)\,dt\Bigr) =\exp(t+\ln t) =t\,e^t.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t):
\bigl(t\,e^t\,y\bigr)' = t\,e^t.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
t\,e^t\,y = \int t\,e^t\,dt + C = (t-1)\,e^t + C.
Logo
y = \frac{(t-1)\,e^t + C}{t\,e^t} =1 - \frac1t + \frac{C}{t\,e^t}.

Passo 5

Aplicando y(\ln2)=1:
1 = 1 - \frac{1}{\ln2} + \frac{C}{(\ln2)\,e^{\ln2}} =1 - \frac{1}{\ln2} + \frac{C}{2\,\ln2},
de onde
0 = -\frac{1}{\ln2} + \frac{C}{2\,\ln2} \quad\Longrightarrow\quad C = 2.

Resposta

\boxed{y(t) = 1 - \frac{1}{t} + \frac{2}{t\,e^t}.}

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